中小学教育资源及组卷应用平台 第9讲 一元线性回归模型及其应用 一、一元线性回归模型 1.Y关于x的一元线性回归模型 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差. 如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 2.我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计， 其中， ＝. 回归直线方程过样本点的中心(,). 二、回归分析 1.残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测称为残差. 2.残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽带越窄，说明模型拟合精度越高. 3.残差平方和：称为残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好. 4.决定系数R2：，R2越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好，R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 【课堂训练】 一、单选题 1．下列命题中错误的是（ ） A．在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B．对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大 C．线性回归直线恒过样本中心 D．在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 2．某同学在研究变量之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则（ ） 4.8 5.8 7 8.3 9.1 2.8 4.1 7.2 9.1 11.8 A． B． C． D． 3．为了解某种产品的广告投入x（单位：万元）对销量y（单位：万件）的影响，对近五年该产品的广告投入和销量，统计如下表： x 145 130 120 105 100 y 110 90 102 78 m 已知x和y具有线性相关关系，且回归直线方程为，那么表中m的值为（ ） A．68 B．70 C．72 D．74 4．某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如下表： x 40 20 30 50 y 490 260 390 540 根据此表可得回归方程中的，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为（ ） A．650万元 B．655万元 C．677万元 D．720万元 5．某产品生产厂家的市场部在对5家商场进行调研时，获得该产品的售价（单位：元）和销售量（单位：百个）之间的五组数据：，，，，，根据数据可得回归直线方程为，则的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，由此进行了5次实验，收集数据如下： 零件数：个 10 20 30 40 50 加工时间：分钟 59 71 75 81 89 由以上数据的线性回归方程估计加工100个零件所花费的时间为（ ） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A．124分钟 B．150分钟 C．162分钟 D．178分钟 7．给出下列命题，其中正确命题的个数为（ ） ①若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为6；②回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；③随机变量服从正态分布，，则；④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在，，，的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表.由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为.那么，年龄在的爱看人数比为（ ） A．0.42 B．0.39 C．0.37 D．0.35 9．已知，之间 ... ...
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