3.3.2 抛物线的简单几何性质【第三课】 扩展1 与拋物线有关的最值（取值范围）问题 例1（2023·湖北黄石高二期中）已知直线l：交抛物线于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求出这个最大面积． 【分析】解决本题的关键是弦AB的长为定值，将点P到直线的距离的最值问题转化为二次函数最值问题求解．在应用配方法求最值时，一定要注意自变量的取值范围． 【解析】由解得或 不妨设，，则． 设为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离， 则． 因为，所以．所以． 从而当时，，． 所以，当点P的坐标为时，的面积取得最大值，最大值为． 【方法总结】（1）具有定义背景的最值问题，可用定义转化为几何问题处理 （2）一般方法是由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法求解最值． （3）常见问题类型及处理方法： ①题型：一是求抛物线上一点到定直线的最小距离；二是求抛物线上一点到定点的距离的最值问题． ②方法：一是利用数形结合求解；二是利用两点间距离公式并结合求函数最值的方法求解． （4）此类问题应注意抛物线的几何性质的应用，尤其是范围的应用． 【举一反三1-1】（2024·江苏盐城·高二统考期末） 1．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则的最小值是（ ） A．40 B．36 C．28 D．24 【举一反三1-2】（2024·安徽霍邱高二期末） 2．已知抛物线的焦点为为上一点，若，则的最大值为 ． 【举一反三1-3】（2024上·湖南衡阳·高二期末） 3．已知O为坐标原点，A，B为抛物线上异于点O的两个动点，且．若点O到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为 ． 【举一反三1-4】（2024·河南南阳·高二期末） 4．已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为4． (1)求抛物线的方程; (2)已知点在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值． 扩展2 与抛物线有关的定值及定点问题 例2（2024·湖南益阳·高二期末）设抛物线C：，F为C的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点． （1）若l的斜率为2，求； （2）求证：是一个定值． 【思路分析】设出直线l的方程，将直线l的方程与抛物线方程联立，整理成一元二次方程的形式，利用根与系数的关系求解和证明． 【解析】（1）依题意得，所以直线l的方程为． 设直线l与抛物线的A，B交点的坐标分别为，． 由消去y整理得，，，． 方法一：． 方法二：因为，所以． （2）【证明】根据题意设直线l的方程为， 直线l与抛物线的交点A，B的坐标分别为，． 由消去x整理得， ，，． 因为， 所以是一个定值． 例3.如图，抛物线方程为，过原点作互相垂直的两条直线OA，OB，分别交抛物线于A，B两点，求证：直线AB必过定点，并求出定点坐标． 【分析】当直线AB的斜率不存在时，求出A，B坐标，确定直线AB的方程．当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为，，，通过方程联立可得A，B两点纵坐标的 关系，根据，可知，得到m，n的关系式，进而可以求得定点坐标． 也可以分别设直线OA，OB的方程，求出A，B两点的坐标，再求直线AB的方程，确定直线过定点． 【证明】方法一：当直线AB的斜率不存在时， 设，，，将代入抛物线方程， 解得（舍去），所以，，直线AB的方程为． 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，由已知可得． 设，，由得， ，． 由已知得，即， 即，满足． 所以直线AB的方程为，则直线AB恒过定点． 综上，直线AB必过定点． 方法二：由已知可以确定OA，OB的斜率存在且不为0， 设直线OA的方程为．由得． 同理，由于，以替换k得． 令，解得．此时直线AB的斜率不存在，直线AB的方程为． 当时，直线AB的斜率存在，， 直线AB的方程为，即， 所以直线AB恒过定点．综上，直线AB必过定点． 【方法总结】1.解决定值问题基本思路：（1）解决与抛物线有关的 ... ...
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