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课件网) 5.3.1 复数的三角表示式 第五章 复数 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示式，了解复数的代数表示与三角表示之 间的关系； 2.了解复数三角表示式的推导过程，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化； 3.了解两个用三角形式表示的复数相等的条件． 复数的三角表示式． 探究、理解复数的三角表示式． 复数的表示 前面我们学习了复数的代数表示和向量表示，本节我们来研究复数的另一种重要表示形式：复数的三角表示．复数的三角表示的形式是什么 它又有哪些作用 让我们一起来探究吧． 前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下它们分别是什么． 复数的概念： 我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数(complexnumber) ． 复数z=a+bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应； 复数z=a+bi与平面向量=(a，b)一一对应． 复数的几何意义： 你能在复平面内用平面向量表示z=a+bi吗？ 如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，向量由点Z唯一确定． 由于复数z=a+bi与平面向量=(a，b)一一对应，所以已知平面向量 =(a，b)能唯一确定与之对应的复数z，其表达式为z=a+bi．复数z可以由向量的坐标(a，b)唯一确定． 已知平面向量 =(a，b)，能唯一确定与之对应的复数z吗？复数z的表达式是什么？为什么？ 我们知道复数z=a+bi可以由向量的坐标(a，b)唯一确定，向量既可以由它的坐标(a，b)唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析下图，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？ 应该定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量 的大小可以用复数的模r来表示，向量的方向可以借助角来表示． 角是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角． 为了解决问题2，首先应研究什么？ 如何用文字语言表述角呢？ 你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？ 由可以得到复数a+bi=， 其中r，，． 刚才我们画的图形中，角的终边落在第一象限，得到a+bi=，这个式子是否具有一般性呢？即若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？ 改变平面向量的位置后，通过观察分析，可以得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有:a+bi=． 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成的形式，其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角(argument of a complexnumber)．叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 一个复数的辐角的值有多少个？ 对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的， 所以复数0的辐角也是任意的，而不是0． 利用终边相同的角的特点，容易得出： 任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个． 因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍． 若复数为0，它的辐角是哪个角？ 这些辐角的值之间有什么关系呢？ 在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？ 我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值 (principal value of an argument)，通常记作arg z，即0≤arg z<2π． 我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”． 追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？ 每一个非零复数 ... ...
