24.3 一元二次方程根与系数的关系 【练基础】 必备知识1 直接利用根与系数的关系求两根的和与积 1.已知x1,x2是一元二次方程x2-6x-15=0的两个实数根,则x1+x2等于 ( ) A.-6 B.6 C.-15 D.15 2.【2022唐山月考】若关于x的一元二次方程的两个根为 x1=1,x2=2,则这个方程可能是 ( ) A.x2+3x-2=0 B.x2+3x+2=0 C.x2-3x+2=0 D.x2-3x+3=0 必备知识2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 3.已知α、β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是 ( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 4.关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1,x2,若x2=2x1,则4b-9ac的最大值是 ( ) A.1 B. C. D.2 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2=0的两个根,且+=1,则k= . 6.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=4.请你写出正确的一元二次方程: . 必备知识3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 7.关于x的方程x2-(m-1)x+m-2=0的两个实数根互为倒数,则m的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2,x2=4,则n的值是 ( ) A.-8 B.8 C.-6 D.2 【练能力】 9.若关于x的方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1、x2,则x1x2(+)-2+4x1的最大值是 ( ) A.3 B.4 C.4.5 D.5 10.在Rt△ABC中,斜边AB=5厘米,BC=a厘米,AC=b厘米,a>b,且a、b是方程x2-(m-1)x+m+4=0的两个实数根,则Rt△ABC的面积为 平方厘米. 11.已知x1、x2是一元二次方程2x2-5x+2=0的两个实数根,不解方程,求下列各式的值. (1)x2+x1. (2)+. 12.关于x的一元二次方程x2 -(2m-1)x+m2=0的两根为a,b,且a+b=ab-4,求m的值. 嘉淇的解题过程如下: ∵a+b=2m-1,ab=m2,∴2m-1=m2-4. 整理,得m2-2m-3=0.解得m1=-1,m2=3. 嘉淇的解题过程漏考虑了哪个条件 请写出正确的解题过程. 13.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1,x2. (1)求m的取值范围. (2)当+=6x1x2时,求m的值. 14.已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两个实数根x1、x2满足x1x2+x1+x2>0,求a的取值范围. 【练素养】 15.已知关于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有两个正整数根(m是正整数),且a、b满足m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0. (1)求m的值. (2)求+的值. 参考答案 练基础 1.B 2.C 3.B 4.D 5.3或-1 6.x2-5x+6=0 7.C 8.A 练能力 9.B 10.6 11.【解析】由已知得x1+x2=,x1·x2=1. (1)·x2+x1·=x1·x2(x1+x2)=. (2)+===. 12.【解析】嘉淇的解题过程漏了b2-4ac≥0这一条件. 正确的解题过程如下: 根据题意,得b2-4ac=[-(2m-1)]2-4m2≥0,解得m≤. ∵a+b=2m-1,ab=m2,a+b=ab-4,∴2m-1=m2-4, 整理,得m2-2m-3=0,解得m1=-1,m2=3(舍去),∴m的值为-1. 13.【解析】(1)∵原方程有两个实数根, ∴Δ=(-2)2-4(m-1)≥0, 整理,得4-4m+4≥0, 解得m≤2. (2)∵x1+x2=2,x1·x2=m-1,+=6x1x2, ∴(x1+x2)2-2x1·x2=6x1·x2, 即4=8(m-1), 解得m=. ∵m=<2, ∴符合条件的m的值为. 14.【解析】∵该一元二次方程有两个实数根, ∴Δ=(-2)2-4×1×a=4-4a≥0, 解得a≤1. 根据根与系数关系得x1x2=a,x1+x2=2. ∵x1x2+x1+x2>0, ∴a+2>0, 解得a>-2, ∴-2
0,∴根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=4>0,ab=2>0, ∴a>0,b>0,∴+===6. 综上所述+的值为2或6. 2 ... ... 
