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课件网) 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 ·最新考纲· 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． ·考向预测· 考情分析：平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题，平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题． 学科素养：通过平面向量数量积的计算及应用考查数学运算、逻辑推理的核心素养． 一、必记5个知识点 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则_____就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b_____；若θ＝180°，则a与b_____；若θ＝90°，则a与b_____． [提醒] 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． ∠AOB 同向 反向 垂直 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量_____叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 _____叫做向量a在b方向上的投影，_____叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_____的乘积 |a||b|cos θ |a|cos θ |b|cos θ |b|cos θ 3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b _____． (3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝_____或者|a|＝_____． (4)cos θ＝_____． (5)a·b≤_____． a·b＝0 |a|2 |a||b| 4．数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b＝_____＝_____． (3)分配律：(a＋b)·c＝_____． 5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 数量积 a·b＝_____ 模 |a|＝_____ 夹角 cos θ＝_____ 向量垂直的充要条件 a⊥b a·b＝0 _____ λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 二、必明5个常用结论 1．求平面向量的模的公式 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝； (2)|a±b|＝＝； (3)若a＝(x，y)，则|a|＝. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)两个向量的数量积是一个向量．( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．( ) (3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( ) (4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (5)(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( ) × × × × × × (二)教材改编 2．[必修4·P107例6改编]设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为( ) A．－4 B．4 C． D．－ 答案：A 解析：因为a·b＝5×(－6)－7t＝－2，所以t＝－4. 3．[必修4·P108习题T6改编]已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为( ) A． B． C． D． 答案：D 解析：cos θ＝＝＝－，又0≤θ≤π，则θ＝. (三)易错易混 4．(不理解向量的几何意义致误)已知＝(－1，2)，点C(2，0)，D(3，－1)，则向量在方向上的投影为_____；向量在 方向上的投影为_____． － ... ...
