24.1.2 垂直于弦的直径 【练基础】 必备知识1 圆的对称性 1.下列说法中,不正确的是 ( ) A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 必备知识2 垂径定理及其推论 2.下列判断中正确的是 ( ) A.平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3.在☉O中,直径AB=15,弦DE⊥AB于点C,若OC∶OB=3∶5,则DE的长为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.15 4.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点H,若AB=10,CD=8,则BH的长度为 . 5.若☉O的半径为4 cm,弦AB=4 cm,则点O到AB的距离为 cm. 6.如图,☉O半径为10,P是弦AB上一动点,AB=16,则OP的取值范围是 . 必备知识3 垂径定理的应用 7.如图, 这是一座圆弧形拱桥,它的跨度(弧所对的弦长)24 m,拱高(弧的中点到弦的距离)4 m,则求拱桥的半径为 ( ) A.16 m B.20 m C.24 m D.28 m 8.如图,一下水管道横截面为圆形,直径为100 cm,下雨前水面宽为60 cm,一场大雨过后,水面宽为80 cm,则水位上升 cm. 【练能力】 9.如图,在半径为3的☉O中,AB是直径,AC是弦,D是的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是 ( ) A. B.3 C.3 D.4 10.数学活动课上,同学们想测出一个残损轮子的半径,小宇的解决方案如下:如图,在轮子圆弧上任取两点A,B,连接AB,再作出AB的垂直平分线,交AB于点C,交于点D,测出AB,CD的长度,即可计算得出轮子的半径.现测出AB=40 cm,CD=10 cm,则轮子的半径为 ( ) A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 11. 如图,在半径为的☉O中,AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=4,则OP的长为 ( ) A.1 B. C.2 D.2 12.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心. 13.如图,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是 . 14.如图,☉O的直径为10 cm,弦AB为6 cm,P为弦AB上的动点,若OP的长为整数,则OP的可能值是 . 15.如图,AB是☉O的直径,P是AB上一点,且P是弦CD的中点. (1)依题意画出弦CD,并说明画图的依据.(不写画法,保留画图痕迹) (2)若AP=2,CD=8,求☉O的半径. 16.如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米. (1)求圆弧所在圆O的半径r. (2)当洪水泛滥到跨度小于等于30米时,需要采取紧急措施.当拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否需要采取紧急措施 【练素养】 17.如图,这是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部是一个以O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6 m,顶棚到路面的距离为6.4 m,点B到路面的距离为4.0 m.请求出路面CD的宽度.(精确到0.1 m) 参考答案 练基础 1.C 2.C 3.C 4.2 5.2 6.6≤OP≤10 7.B 8.10或70 练能力 9.D 10.C 11.B 12.2 13.3 14.4或5 15.【解析】(1)弦CD如图所示. 依据:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. (2)如图,连接OD. ∵P是弦CD的中点,AB是☉O的直径,∴OA⊥CD,PD=CD. ∵CD=8,∴PD=4. 设☉O的半径为r,则OD=r,OP=OA-AP=r-2, 在Rt△ODP中,∠OPD=90°, ∴OD2=OP2+PD2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5, 即☉O的半径为5. 16.【解析】(1)如图,连接OA, 由题意,得AD=AB=30米,OD=(r-18)米. 在Rt△ADO中,由勾股定理,得r2=302+(r-18)2,解得r=34. 故圆弧所在圆O的半径r为34米. (2)如图,连接OA', 在Rt△OA'E中,OA'=34米,OE=OP-PE=30米, 由勾股定理,得A'E2=342-302, ∴A'E=16米,∴A'B'=32米. ∵32>30,∴不需要采取紧急措施. 练素养 17.【解析】如图,连接OC,设AB交CD于点E. 由题意知AB=1.6+6.4+4=12, ∴OC=OB=6 m,OE=OB-BE=6-4=2 m. 由题意可知AB⊥CD, ∵AB过点O, ∴CD=2CE. 在Rt△OCE中,由勾股定 ... ...
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