第二部分 重难点09平面向量常考经典压轴小题全归类 讲义（含解析） 2024年高考数学二轮复习系列（新高考专用）

重难点09 平面向量常考经典压轴小题全归类【九大题型】 【新高考专用】 【题型1 平面向量共线定理及其应用】 【题型2 平面向量基本定理及其应用】 【题型3 平面向量的数量积】 【题型4 平面向量的模的问题】 【题型5 平面向量夹角与垂直问题】 【题型6 极化恒等式】 【题型7 向量与解三角形综合】 【题型8 向量与几何最值、范围问题】 【题型9 向量在几何中的其他应用】 平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，常常以平面图形为载体，考查数量积、模、夹角与垂直的条件等问题，也时也会与平面解析几何、三角函数、不等式等知识相结合，以工具的形式出现，试题难度中等.学生在高考复习中应注意加强对平面向量的数量积、模、夹角等知识的掌握，能灵活运用向量知识解决有关问题. 【知识点1 平面向量线性运算问题的解题策略】 1.平面向量线性运算问题的求解思路： （1）解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； （2）在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 2.向量线性运算的含参问题的解题策略： 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值. 3.利用共线向量定理解题的策略： （1）是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. （2）当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线共线. （3）若与不共线且，则. （4）(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1. 【知识点2 平面向量基本定理的解题策略】 1.应用平面向量基本定理求向量的实质 应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【知识点3 平面向量坐标运算的方法技巧】 1.平面向量坐标运算的技巧 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. （2）解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【知识点4 平面向量数量积问题的解题方法】 1.平面向量数量积的两种运算方法 （1）基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； （2）坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 2.夹角与垂直问题 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 3.向量的模的求解思路： （1）坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； （2）公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； （3）几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【知识点5 极化恒等式】 1.极化恒等式的证明过程与几何意义 （1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加 ... ...