建平中学2023-2024学年高三下学期3月考试数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1.已知集合，，则_____. 2.若，则_____ 3.设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数_____. 4.设随机变量，且，，则_____. 5.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为_____. 6.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是_____（结果用最简分数表示） 7.在中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，，则_____. 8.甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.已知甲、乙两人至少命中一，则甲命中的概率为_____. 9.已知，为椭圆：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_____. 10.设，，，，则数列的通项公式_____. 11.已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若，则向量、夹角的余弦值的取值范围是_____. 12.若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质，若函数具有性质，其中a，b，c为实数，且满足，则实数的取值范围是_____. 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13.已知，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ） A.甲乙两班同学身高的极差相等 B.甲乙两班同学身高的平均值相等 C.甲乙两班同学身高的中位数相等 D.乙班同学身高在175cm以上的人数较多 15.如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有2个元素，那么符合条件的点有（ ）. A.4个 B.6个 C.10个 D.14个 16.已知函数，定义域为，且，，，则下列结论正确的是（ ） ①若，则；②若，则 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17.如图，在三棱锥中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若点M在棱上，且，求点C到平面的距离. 18.设函数，其中.已知. （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值. 19.地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望； （3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为B等级，其它为C等级.以样本估计总体，用频率代替概率。从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得B等级的人数不少于2人的概率. 20.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点. （1）若，求点M的横坐标； （2）证明：直线过定点； （3）设G为直线与直线的交点，求面积的最小值. 21.对于函数与定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”. （1）若函数，，，求函数和的“分界线”； （2）已知函数满足对任意的，恒成立. ①求实数的值； ②设函数，试探究函数与是否存在“分界线” 若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由. 建平中 ... ...
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