中小学教育资源及组卷应用平台 人教版初中数学八年级下册 18.1.2 平行四边形的性质（2） 教学设计 一、教学目标： 1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质； 2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想， 体会图形性质探究的一般思路. 二、教学重、难点： 重点：平行四边形对角线互相平分的性质. 难点：利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题. 三、教学过程： 情境引入 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 知识精讲 探究：如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？ 猜想：在□ABCD中，OA=OC，OB=OD. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AD=BC ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △AOD≌△COB (ASA) ∴ OA=OC，OB=OD 形成定理 平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分 几何符号语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD 学以致用 问题 平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？ 解：相等.理由如下： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC，OB=OD ∵ △ADO与△ODC等底同高 ∴ S△ADO=S△ODC 同理可得 S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB 典例解析 例1.如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ BC=AD=8，CD=AB=10 ∵ AC⊥BC，∴ △ABC是直角三角形 根据勾股定理，AC===6 又 OA=OC，∴ OA=AC=3，S□ABCD=BC AC=8×6=48 【针对练习】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？ 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，OB=OD. ∵OE⊥BD， ∴BE=DE. ∵△CDE的周长为10， ∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10， ∴平行四边形ABCD的周长为2×(BC+CD)=20． 例2.已知□ ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm， ∴AB－AD＝5cm. 又∵ □ ABCD的周长为60cm， ∴AB＋AD＝30cm， 则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 【点睛】平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差． 【针对练习】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且AC:DB= 2:1，求AC和BD的长． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AB=CD，OB=OD， ∴AB+BC=50. ∵△AOB与△BOC的周长的和是122cm， ∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122， 即AC+BD=122-50=72. 又∵AC:DB=2:1， ∴AC=48cm，BD=24cm． 例3.如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论． 解：BE＝DF，BE∥DF. 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD, ∴OE＝OF. 在△OFD和△OEB中， OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB， ∴△OFD≌△OEB， ∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF， ∴BE∥DF. 例4.如图，□ ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, OD=OB, ∴∠ODF=∠OBE, ∠DFO=∠BEO, ∴△DOF≌△BOE（ASA ... ...
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