中小学教育资源及组卷应用平台 人教版初中数学八年级下册 18.1.5 三角形的中位线 教学设计 一、教学目标： 1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 二、教学重、难点： 重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线. 难点：中位线定理的应用. 三、教学过程： 问题引入 问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？ 还有别的方法吗？ 知识精讲 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 猜想：增加的线段与它所对的边有什么关系？ 【归纳】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？ 探究：观察上图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？ 猜想：DE∥BC，且DE=BC. 定理证明 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC. 证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE=EC，DE=EF ∴ 四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴ CF∥BD，CF=BD ∴ 四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE=DF ∴ DE∥BC，且DE=BC 你还有其它证法吗？ 证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC. ∵ AE=CE，∠AED=∠CEF ∴ △ADE≌△CFE (SAS) ∴ AD=CF，∠ADE=∠F ∴ AD∥CF ∴ BD∥CF，BD=CF ∴ 四边形BCFD是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE=DF ∴ DE∥BC，且DE=BC 【归纳】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 几何符号语言： ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC，且DE=BC. 学以致用： 问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？ 解:分别取OA，OB的中点E，F，连接EF，测量出EF的距离，然后根据三角形的中位线定理可知AB=2EF. 典例解析 例1.如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，求CD的长． 解：∵M，N分别是AB和AC的中点， ∴MN是△ABC的中位线． ∴MN＝BC＝2，MN∥BC. ∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE. ∵点E是CN的中点， ∴NE＝CE. ∴△MNE≌△DCE(AAS)． ∴CD＝MN＝2. 【针对练习】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC， ∵AB=CD， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°， ∴∠MPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°， ∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°． 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF. ∵BD＝AB， ∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB, ∴CE＝BF， ∴CD＝2CE. 例3.如图，D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明． 解：四边形DEGF是平行四边形．理由如下： ∵D、E是△ABC边AB，AC的中点， ∴DE＝BC，DE∥BC. ∵F、G是OB，OC的中点， ∴FG＝BC，FG∥BC. ∴DE＝FG，DE∥FG. ∴四边形DEGF是平行四边形． 例4.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:连接BD. ∵E、H分别是AB，AD的中点 ∴EH//BD，EH=BD 同理FG//BD，FG=BD ∴EH//FG，EH=FG ∴四边形EFGH是 ... ...
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