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课件网) 微专题 与中点有关的模型构造方法 模型一 已知三角形的一边中点，构造中位线 图1 模型剖析 如图1，已知点 是 的中点. 结论： ， . 模型应用 图2 1.如图2，在 中， ， ， 是边 的中点，延长 到点 ，使 ，那 么 的长是___． 2 模型二 已知直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线 图3 模型剖析 如图3，已知点 是 斜 边 的中点. 结论： . 模型应用 图4 2.如图4， ， ， 分别是 ， 的中点， ， ，则 ___． 图19 提示：如图19，连接 ， ， 是 的中点， ， .又 是 的中点， ， ， ． 【答案】8 模型三 已知等腰三角形底边的中点，利用“三线合一”的性质构造垂直 图5 模型剖析 如图5，已知点 是等腰三角形 底边 的中点. 结论： ， . 模型应用 图6 3.如图6，在 中， ， ， 为 的中点， 于点 ，则 ____． 4.8 提示：连接 ， 为 的中点， ， .由勾股定理，得 ， .解得 ． 模型四 已知三角形一边的中线或过中点的线段，利用倍长中线构造全等三角形 模型剖析 （1）如图7， 是 的中线. 图7 结论： . （2）如图8，已知点 是 的中点. 图8 结论： . 模型应用 图9 4.如图9，在 中， ， ， 是边 上的中线， ，则 的面积是___． 图20 提示：如图20，延长 到点 ，使 ，连接 为 的中点， .又 ， ， .又 ， ， 6 是直角三角形， . ． 微专题练习（五） 与中点有关的模型构造方法 模型一 已知三角形的一边中点，构造中位线 1.（2021·雅安）如图1，在 中， ， 是 边上的中线， 是 的 中位线.若 ，则 的长为( ) . 图1 A.6 B.4 C.3 D.5 A 图2 2.如图2，在 中，延长 至点 ，使得 ， 过 的中点 作 （点 位于点 右侧），且 ，连接 .若 ，则 的长为( ) . A.3 B.4 C.2 D. 图27 提示：如图27，取 的中点 ，连接 .因为 是 的 中点，所以 是 的中位线.所以 .设 ，则 .所以 .所以 .又因为 ，所以四边形 是平行四边形.所以 . B 图3 3.如图3，四边形 中， 为对角线， ， ， ， 分别是边 ， 的中点，则 的 取值范围是( ) . A. B. C. D. 提示：取 的中点 ，连接 ， ， 分别为 ， 的中 点， 是 的中位线. .同理可得 .在 中， ，即 .当点 在 上时， ， . A 模型二 已知直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线 图4 4.如图4， 是 的弦，点 是优弧 上的动点（点 不 与点 ， 重合）， ，垂足为点 ，点 是 的中 点.若 的半径是3，则 长的最大值是( ) . A A.3 B.4 C.5 D.6 图5 5.（2021·西宁）如图5，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点，连接 ， .若 ， ，则点 到 的距离是___. 图6 6.如图6，在 中， ， ， ，线段 的两个端点 ， 分别在边 ， 上滑动，且 .若点 ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为_____． 图28 提示：如图28，连接 ， .在 中， ， ， ， . ，点 ， 分别是 ， 的中点， ， .当 ， ， 三点在同一直线上时， 取最小值， 的最小值为 ． 模型三 已知等腰三角形底边的中点，利用“三线合一”的性质构造垂直 图7 7.如图7，在 中， ， ，等边三 角形 的顶点 在 上，边 交 于点 .若 ， ，则 的长为( ) . A.1 B.2 C.3 D.4 图7 提示： ， ， 为等边三角形， ， .在 中， ， . ． 【答案】D 图8 8.如图8，等边三角形 中， 于点 ，点 为 的中点， ， ，点 为 上 一点，连接 , .如果 ，那么 的最 小值为_____． 图29 提示：如图29，连接 交 于点 ，连接 是等边三角形，点 为 的中点， .在等边三角形 中， 于点 ， ，此时 的值最小. ， ， . 的最小值为 ． 图9 9.如图9，在 中， ， ， 为 的中点， ， 分别是 ， 上的点，且 .求 证： 为等腰直角三角形. 图30 证明：如图30，连接 ， ， 为 的中点， ， ，且 平分 . 在 和 中， ， ， ， ， ， ，即 . 为等腰直角三角形. 图30 模型四 已知三角形一边的中线 ... ...
