赣州市2024年高三年级摸底考试 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟 第I卷（选择题共58分） 一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位.，则（ ） A．1 B． C．2 D．4 3．在中，，则（ ） A． B． C． D． 4．在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（ ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，，则（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 6．若一组样本数据的方差为，则样本数据的方差为（ ） A．1 B．2 C．2.5 D． 7．已知，则（ ） A． B． C． D． 8．在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知等比数列的前项和为，则（ ） A． B． C．数列为单调数列 D．数列为单调数列 10．已知函数，则（ ） A．是的一个周期 B．的图象关于原点对称 C．的图象过点 D．为上的单调函数 11．曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ） A．曲线关于坐标轴对称； B．周长的最小值为； C．点到轴距离的最大值为 D．点到原点距离的最小值为. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．求值： . 13．展开式中的常数项为 . 14．已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴 轴于点，过作的垂线分别交轴 轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为 . 四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 15．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正切值. 16．某人准备应聘甲 乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立. (1)若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率； (2)已知甲 乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围. 17．己知椭圆过点，椭圆的右焦点与点所在直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过的直线与椭圆交于两点.点.直线分别交椭圆于点，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 18．已知函数. (1)求的单调区间， (2)已如.若函数有唯一的零点.证明，. 19．设数列.如果对小于的每个正整数都有.则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合，的元素个数记为. (1)对数列，写出的所有元素； (2)数列满足，若.求数列的种数. (3)证明：若数列满足，则. 1．A 【分析】化简集合即可利用集合的交并补运算求解. 【详解】， 故， 故选：A 2．B 【分析】根据题意，由复数的运算以及复数相等的概念即可求得，再由复数的模长公式即可得到结果. 【详解】由可得， 则，解得，则. 故选：B 3．B 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【详解】∵， ∴由余弦定理可得：, ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选:B 4．A 【分析】根据给定条件，作出并证明过点，且与平面平行的正方体的截面，再求出面积. 【详 ... ...
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