2025新教材数学高考第一轮基础练--课时规范练60　线线角与线面角（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025新教材数学高考第一轮 课时规范练60　线线角与线面角 一、基础巩固练 1.(2024·福建龙岩模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,M为A1C1的中点,则直线AM与BC1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 2.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,线段AB,SC的中点分别为E,F,若异面直线EC与BF所成角的余弦值为,则SD=(　　) A. B.4 C.2 D.3 3.(2024·山东日照模拟)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,它的高为2,AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90°,则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为　　　　　. 4.(2024·山东济宁模拟)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,平面AB1C⊥平面ABCD,DD1=DA=A1B1=AB=2,∠BAD=. (1)证明:DD1∥平面AB1C; (2)若B1A=B1C,求直线BC1与平面AB1C所成角的正弦值. 5.(2024·吉林长春模拟)如图,等腰直角三角形AOB中,OA=OB=2,点C是OB的中点,△AOB绕BO所在的直线逆时针旋转至△BOD,∠AOD=. 求:(1)△AOB旋转所得旋转体的体积V和表面积S; (2)直线AC与平面BOD所成角的正弦值. 二、综合提升练 6.(2022·浙江,19)如图,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中点. (1)证明:FN⊥AD; (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. 7.(2024·江苏苏锡常镇模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1BA⊥平面ABC,侧面A1B1BA为菱形,∠ABB1=,A1B⊥AC,AB=AC=2,E是AC的中点. (1)求证:A1B⊥平面AB1C; (2)点P在线段A1E上(异于点A1,E),直线AP与平面A1BE所成角为,求的值. 8.(2024·浙江杭州模拟)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,∠BAD=,梯形C1D1DC⊥底面ABCD,CD=CC1=DD1=3,C1D1=1.设O为DC的中点. (1)求证:A1B1⊥平面OBB1; (2)棱DD1上是否存在点M,使得直线AM与平面BDD1B1所成角的余弦值为,请说明理由. 课时规范练60　线线角与线面角 1.C　解析 取AC的中点O,连接OB,OM,则BO⊥AC,MO⊥AC. 又该三棱柱为直三棱柱,则MO⊥OB. 设直三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,以O为原点,OB,OC,OM所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,-1,0),M(0,0,2),B(,0,0),C1(0,1,2), 所以=(0,1,2),=(-,1,2), 则cos<>=,故sin<>= 2.B　解析 如图所示,以D为原点,DA,DC,DS所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设SD=t,t>0,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),E(2,1,0),F,所以=(-2,1,0), 因为异面直线EC与BF所成角的余弦值为, 所以|cos<>|=,解得t=4,即SD=4. 3.　解析 设上底面圆心为O',下底面圆心为O,连接OO',OC,OB,O'B1,O'C1,以O为原点,分别以OC,OB,OO'所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(1,0,0),A(0,2,0),B1(0,1,2),D1(2,0,2),则=(1,0,2),=(0,-1,2),所以|cos<>|=,故异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为 4.(1)证明 连接BD交AC于点O,连接OB1,B1D1.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,因为DD1=DA=A1B1=AB=2, 所以OD∥B1D1且OD=B1D1,所以四边形OB1D1D为平行四边形, 所以OB1∥DD1.又DD1 平面AB1C,OB1 平面AB1C, 所以DD1∥平面AB1C. (2)解 因为B1A=B1C,O为AC的中点,所以OB1⊥AC.又平面AB1C⊥平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,OB1 平面AB1C,所以OB1⊥平面ABCD.因为OB1∥DD1,所以DD1⊥平面ABCD. 在△ABD中,AD=AB=2,∠BAD=,由余弦定理,得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠BAD=4+16-2×2×4=12, 故BD=2, 则AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD. 如图,以点D为原点,DA,DB,DD1所在直线为x轴 ... ...