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课件网) 5.1.2 利用二分法求方程的近似解 新授课 1.了解求方程近似解的方法,会用二分法求方程的近似解. 情境：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长10km的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10km大约有200多根电线杆. 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 思考:根据零点存在定理,函数lnx+2x-6=0在区间(2,3)内存在一个零点，该如何如何求出这个零点的近似解呢？ 通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围． 取区间(2,3)的中点2.5，算得f(2.5)≈－0.084． 因为f(2.5)f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5,2.75)内． 因为f(2.5)f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内． 再取区间(2.5,3)的中点2.75，算得f(2.75)≈0.512． 通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足条件的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值. 2 2.5 2.75 3 设 是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若满足|x0- |<ε,就称x是满足 精确度ε的近似解. 对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线f(a) f(b)<0,则方程f(x)=0在区间(a,b)内有解. x y O a b f(x) 思考:在区间(a,b)的基础上,如何确定下一个区间？ 例如：若ε=0.5，零点所在区间(2.5,2.75)满足|2.75-2.5|<0.5，即区间内的任意一个数都是满足精确度ε的近似解 取区间(a,b)的中点，若 f () f (b)<0，则区间(,b)内有方程的解. 再取区间(,b)的中点,得到一串区间，其端点的函数值符号相反.随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解. x y O a b f(x) 对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a) f(b)<0,则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 概念生成 思考：若函数y=f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法 求解？ 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 1.通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是( ) 练一练 C A B C D 例1.求方程2x3+3x-3=0的一个近似解.(精确度为0.01) 知识点2：二分法求函数零点近似值的步骤 解:经试算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0, 所以方程f(x)=0在区间(0,1)内有解. 取区间(0,1)的中点0.5，f(0.5)=-1.25<0, 所以方程f(x)=0在区间(0.5,1)内有解. 如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间(如表). 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 0 -3 1 2 1 第2次 0.5 -1.25 1 2 0.5 第3次 0.5 -1.25 0.75 0.09375 0.25 第4次 0.625 -0.63671875 0.75 0.09375 0.125 第5次 0.6875 -0.287597656 0.75 0.09375 0.0625 第6次 0.71875 -0.101135254 0.75 0.09375 0.03125 第7次 0.734375 -0.004768372 0.75 0.09375 0.015625 第8次 0.734375 -0.004768372 0.7421875 0.044219017 0.0078125 区间[0.734375,0.7421875]的区间长度为0.0078125,它小于0.01,而方程的解就在这个区间内,因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解,如,0.74就是方程2x3+3x-3=0精确度为0.01的一个近似解. 归纳总结 利用二分法求方程近似解 的过程可以用右图表示: 选定初始区间[a,b] 取区间的中点c 中点函数值为0 得到新区间[a,b] 新区间的长度|a-b|< 结束 选取区间内任意一个数 是 是 否 否 若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))， 则令b=c； 若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))， 则令a=c； 练一练 已知函数f(x)=x3+x-3 ... ...
