第6章 空间向量与立体几何 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：空间向量及其线性运算 经典题型二：空间向量的数量积运算 经典题型三：空间向量基本定理 经典题型四：空间向量运算的坐标表示 经典题型五：用空间向量研究平行、垂直问题 经典题型六：用空间向量研究异面直线所成角问题 经典题型七：用空间向量研究线面角问题 经典题型八：用空间向量研究二面角问题 经典题型九：用空间向量研究距离问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：空间向量及其线性运算 例1．（2024·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）如图，在四面体中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 . 故选：B 例2．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如下图所示， 因为，， 所以，所以． 故选：A. 例3．（2024·福建莆田·高二仙游一中校联考期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故，，，. 故选：A 例4．（2024·山东枣庄·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接， . 故选：A. 例5．（2024·北京西城·高二北师大二附中校考阶段练习）如图，在平行六面体中，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 故选：C. 经典题型二：空间向量的数量积运算 例6．（2024·广东广州·高二统考期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 【答案】 【解析】在正四面体中，， 又，，， 所以. 故答案为： 例7．（2024·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）向量，向量在向量上的投影向量坐标是 . 【答案】 【解析】向量在向量上的投影向量坐标为： . 故答案为：. 例8．（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题设，， 所以 . 故答案为： 例9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，则 【答案】 【解析】因为，所以，， 所以. 故答案为： 例10．（2024·高二课时练习）若是一个单位正交基底，且向量，， ． 【答案】 【解析】由是一个单位正交基底，则， 故答案为： 经典题型三：空间向量基本定理 例11．（2024·山东·高二统考期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】C 【解析】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确； 对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确； 对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设， 则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确； 对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为. 故D不正确. 故选：C 例12．（2024·贵州·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（ ） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解析】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， ... ...
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