第7章 计数原理 章末题型归纳总结 (原卷版+解析版)

第7章 计数原理 章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：分类加法与分步乘法计数原理 经典题型二：相邻问题的排列问题 经典题型三：不相邻的排列问题 经典题型四：分组分配问题 经典题型五：隔板法 经典题型六：几何计数问题 经典题型七：代数中的计数问题 经典题型八：涂色问题 经典题型九：二项展开式问题 经典题型十：系数与系数和问题 经典题型十一：整除与余数、近似计算问题 经典题型十二：杨辉三角问题 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③特殊到一般思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：分类加法与分步乘法计数原理 例1．（2024·江西九江·高二九江市同文中学校考期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（ ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【解析】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个. 故选：D. 例2．（2024·江西·高二江西省安义中学校联考期末）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 【答案】C 【解析】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：C． 例3．（2024·河南·高二校联考期末）某同学逛书店，发现3本喜欢的书，若决定至少买其中的两本，则购买方案有（　　） A．4种 B．6种 C．7种 D．9种 【答案】A 【解析】买两本，有种方案；买三本，有1种方案； 因此共有方案(种)． 故选：A. 例4．（2024·山东德州·高二统考期末）已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解析】依题意，可得点的坐标有： 其中落在第三、第四象限内点有 共6个. 故选：A 例5．（2024·广东深圳·高二校考期末）某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择， 故共有种选择方法. 故选：D. 例6．（2024·江西赣州·高二统考期末）阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（ ） A．50 B．60 C．125 D．243 【答案】D 【解析】由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读， 其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种数是种. 故选：D. 经典题型二：相邻问题的排列问题 例7．（2024·北京西城·高二期末）2023年杭州亚运会期间，甲 乙 丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【答案】B 【解析】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素， 先排除去丙的5个元素，共有种排法， 再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法， 所以甲与乙相邻 丙不排在两端，则不同的排法种数有种. 故选：B. 例8．（2024·全国·高二假期作业）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式． A．672 B．864 C．936 D．1056 【答案】D 【解析】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有种站排方式； 当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式； 故总共有种站排方式. 故选：D． 例9．（2024· ... ...