题型18 4类数列综合 （数列中不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合） 技法01 数列中不等式的证明 例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，数列的前n项和为，证明：． （1）由得，则当时，有， 两式相减得， 整理得，即， 因此数列是以为公比的等比数列． （2）由（1）及可得， 因此． 于是， 所以 ， 由于， 所以， 故． （2024·福建漳州·统考模拟预测） 1．已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：. （2023·全国·模拟预测） 2．已知是数列的前项和，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． （2023·湖南邵阳·统考二模） 3．已知为数列的前项和，，，记. (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：. 技法02 数列中的不等式放缩 （1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择. 注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如： （2），从而有： 注：对于还可放缩为： （3）分子分母同加常数： 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系. （4） 可推广为： 例2．（2022·福建泉州·统考模拟预测）已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，证明：． （1）因为， ① 当时，， ② ①②，得 ，所以， 又时，， 所以． （2）由（1）结合已知条件可得：． 当时，，，即成立． 当时，， 所以 综上，． （2024·广东茂名·统考一模） 技法03 数列中的参数求解 4．设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. （2023上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习） 5．设数列的前n项之积为，满足（）. (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前n项之和为，证明：. （2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习） 6．已知数列的首项，是与的等差中项． (1)求证：数列是等比数列； (2)证明：． （2023·湖北·模拟预测） 7．设对任意，数列满足，，数列满足． (1)证明：单调递增，且； (2)记，证明：存在常数，使得． （2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测） 8．已知数列的前项和为，且满足， (1)求和 (2)求证：． 例3．（2023·河北·模拟预测）在数列中，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. （1）由题意可得：， 当时，可得， 则， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得：，则， 可得，则， 两式相减得：， 所以， 因为，则， 原题意等价于关于的不等式恒成立，可得， 构建， 令，则，解得或3， 则，即当或时，取到最大值， 可得，所以实数的取值范围. （2023·河南·信阳高中校联考模拟预测） 9．已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. （2024·云南曲靖·统考一模） 10．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． （2024·全国·模拟预测） 11．设，分别为数列，的前n项和，且． (1)若，，求数列的通项公式； (2)若，，设m为整数，且对任意的，恒成立，求m的最小值． （2023·浙江·统考一模） 12．已知等差数列满足. (1)若，求数列的通项公式； (2)若数列满足，，且是等差数列 ... ...
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