题型16 11类数列通项公式构造解题技巧 技法01 用与关系求通项公式的解题技巧 知识迁移 例1． （2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． （1）因为，即①，当时，②， ①②得，，即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测） 1．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式; (2)若，求数列的前项和. （2023·浙江嘉兴·统考模拟预测） 2．记为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． （2023·广东·统考二模） 3．记数列的前n项和为，已知，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，若，，，求. 技法02 已知用累加法求通项公式的解题技巧 知识迁移 例2． （2023·全国·高三专题练习） 在数列{}中，，，求通项公式． 原递推式可化为，则， ，…，，逐项相加，得，故． （2023上·江苏·高三专题练习） 4．已知数列满足，求数列的通项公式． （2023·江苏南京·校考二模） 5．已知数列的前项和为，满足. (1)求的值，并求数列的通项公式. (2)令，求数列的前项和. （2022·浙江·统考高考真题） 6．已知数列满足，则（ ） A． B． C． D． （2021·浙江·统考高考真题） 7．已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ） A． B． C． D． 技巧技法03 已知用累乘法求通项公式的解题技巧 知识迁移 例3． （2022·全国·统考高考真题） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． （1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模） 8．已知数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. （2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测） 9．已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． （2023·全国·模拟预测） 10．已知正项数列满足，. (1)求证：数列为等差数列； (2)设，求数列的前n项和. 技法04 已知用求通项公式的解题技巧 知识迁移 例4． （2023·湖南张家界·统考二模） 11．数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. （2023·全国·校联考模拟预测） 12．已知数列中，，且，为其前项的和． (1)求数列的通项公式； (2)求满足不等式的最小正整数的值； (3)设，，其中，若对任意，，总有成立，求的取值范围． （2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模） 13．已知正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． （2023·山东德州·三模） 14．已知为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． （2023·贵州遵义·统考三模） 15．已知为数列的前项和，且满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值. 技法05 已知用求通项公式的解题技巧 例5． （2023·陕西安康·校联考模拟预测） 在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． （1）因为， 所以，又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 所以，即； （2023·贵州六盘水·统考模拟预测） 16．在数列中，． (1)证明：数列为常数列． (2)若，求数列的前项和． （2022下·湖北·高二校联考阶段练习） 17．在数列中，，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和. 技法06 已知用求通项公式的解题技巧 （2023·浙江·模拟预测） 例6． 已知数列的前项和为 (1)试求数列的通项公式； (2)求. （1）由题意，两边同时除以，将其变形为，即， 由等差数 ... ...
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