题型02 函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性） （含解析）2024年高考数学答题技巧与模板构建

题型02 函数的4大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） 2. 复合函数的单调性 例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则（ ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 在定义域内是增函数，在定义域内是减函数， 所以在单调递增 【答案】A （2023·宁夏银川·统考模拟预测） 1．已知函数，则（ ） A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数 C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数 （2021·内蒙古包头·统考一模） 2．设函数，则（ ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 （2023·全国·模拟预测） 3．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 知识迁移 ①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提） ②奇偶性的定义： 奇函数：，图象关于原点对称，偶函数：，图象关于轴对称 ③奇偶性的运算 例2．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ． 由题知为偶函数，定义域为， 【法一】奇偶性的运算 只需即可 【法二】寻找必要条件（特值法） 所以，即， 则，故 （2023·全国·统考高考真题） 4．若为偶函数，则（ ）． A． B．0 C． D．1 （2023·全国·统考高考真题） 5．已知是偶函数，则（ ） A． B． C．1 D．2 （2021·全国·高考真题） 6．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． （2020·山东·统考高考真题） 7．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2022·全国·统考高考真题） 8．若是奇函数，则 ， ． 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 知识迁移 ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 例3．（全国·高考真题）已知是定义域为的奇函数，满足.若，则 A． B． C． D． 因为是定义域为的奇函数，所以，即，所以周期为4 【答案】C （2023上·海南省·高三校联考） 9．已知函数是定义在上的奇函数，且，，则（ ） A． B．0 C．3 D．6 （2022·全国·统考高考真题） 10．已知函数的定义域为R，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 （2023·全国·模拟预测） 11．若函数的定义域为，且，，则 ． 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 知识迁移 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 例4-1．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是 A． B． C． D． 【法一】函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点． 故选项B正确 【法二】关于x=1对称即，即 【答案】B 例4-2．（2016·全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A．0 B． C． D． [方法一]：直接法. 由得关于对称， 而也关于对称， ∴对于每一组对称点， ∴，故选B． [方法二]：特值法. 由得 不妨设因为，与函数的交点为 ∴当时，，故选B． [方法三]：构造法. 设，则，故为奇函数. 设，则，故为奇函数. ∴对于每一组对称点. 将，代入，即得 ∴，故选B． [方法四]： 由题意得，函数和的图象都关于对称， 所以两函数的交点也关于对称， 对于每一组对称点和，都有. 从而.故选B. 【答案】B 例4-3． ... ...