21 世纪教育网(www.21cnjy.com) 06 立方根 知识点 1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a的立方根或三次方根.这就是说，如果 x3 a， 那么 x叫做 a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数 a的立方根，用 3 a表示，其中 a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是 0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两 个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点 2：立方根的性质 21 世纪教育网(www.21cnjy.com) 3 3 a 3 a 3 a3 a 3 a a 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点 3： 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例 如， 3 0.000 216＝0.06 ， 3 0. 216＝0.6， 3 216＝6 ， 3 216000 ＝60 . 考点剖析 考点一：立方根的概念 【典例 1】若一个数的立方根等于 2，则这个数等于（ ） A． 4 B．8 C． 8 D． 8 【答案】D 【解析】由题意可设这个数为 x， ∴ 3 x 2 ， x ( 2)3 8 故选：D ． 【变式 1-1】下列说法中，错误的是（ ） A．1 的平方根是 1 B．0的平方根和立方根都是 0 C． 1的立方根是 1 D．负数没有平方根 【答案】A 【解析】1的平方根是 1，则 A符合题意； 21 世纪教育网(www.21cnjy.com) 0 的平方根和立方根都是 0，则 B不符合题意； 1的立方根是 1，则 C不符合题意； 负数没有平方根，则D不符合题意． 故选：A． 【变式 1-2】实数 125的立方根是（ ） A．5 B． 5 C． 5 D． 25 【答案】B 【解析】 5 3 125， 3 125 5，故选：B． 【变式 1-3】若 3 x 4，则 x的值为：（ ） A．16 B．24 C．64 D．256 【答案】C 【解析】∵ 3 x 4，∴ x 43 64．故选：C． 【变式 1-4】若 x3 27，则 x ． 【答案】3 【解析】 x3 27， x 3 27 3，故答案为：3． 考点二：立方根的性质 【典例 2】已知 3 1 a 2，则 a的平方根为（ ） A． 2 B． 2 C． 3 D．4 【答案】C 【解析】 3 1 a 2 ， 1 a 8， a 9， 21 世纪教育网(www.21cnjy.com) a的平方根为 3．故选：C． 【变式 2-1】若 a2 16, 3 b 2 ，则 a b的值是（ ） A． 4 B． 12或 4 C．12 D．12 或 4 【答案】B 【解析】∵ a2 16, 3 b 2 ， ∴a=±4，b=-8． ∴当 a=4，b=-8 时，a+b=-4； 当 a=-4，b=-8 时，a+b=-12． 故选：B． 【变式 2-2】若 3 5 k 3 k 5，则 k的值为 ． 【答案】5 【解析】∵ 3 5 k 3 k 5， ∴ k 5 0， ∴ k 5． 故答案为：5． 【变式 2-3】实数 a的立方根是 3 6 ，则 a＝ ． 【答案】6 【解析】因为实数 a的立方根是 3 6 ， 所以 a 6， 故答案为：6． 21 世纪教育网(www.21cnjy.com) 考点三：立方根的实际应用 【典例 3】如图，是一块体积为 216 立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为 2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的 长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块底面正方形的边长． 【解析】（1）根据题意可得：铁块的棱长为 3 216 6 （厘米）， 答：这个铁块的棱长为6厘米； （2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为 a厘米， ∴ 2 23 8a2 216，16 8a2 216， 解得：a 5， 答：长方体铁块底面正方形的边长为5厘米． 【变式 3-1】如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面 升高 2cm，如果容器的底面直径是 12cm，求正方体铁块的棱长（π取 3）． 【解析】设正方体的棱长为 xcm，由题意得， 21 世纪教育网(www.21cn ... ...
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