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课件网) 2024山东中考数学一轮复习 第五章 四边形 第四节 正方形 理考点·练基础 讲重难·提能力 聚焦山东·精练考向 &1& 正方形的性质与判定（5年40考） 性质 边 四条边①_____；对边②_____ 角 四个角都是③_____ 对角线 对角线④_____且⑤_____，每条对角线⑥_____ _____ 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形，有⑦___条对称轴 都相等 平行 直角 互相垂直平分 相等 平分一组对角 4 判定 （1）⑧_____的矩形是正方形（定义）； （2）⑨_____的菱形是正方形； （3）有一组邻边相等，并且有一个角是⑩_____的平行四边形是正方 形； （4）对角线 _____的四边形是正方形 面积 ____ _ ____（ 表示正方形的边长， 表示正方形的对角线的 长） 有一组邻边相等 有一个角是直角 直角 互相垂直平分且相等 续表 1.已知正方形的对角线为8，则它的边长为_____. 2.（人教八下P61习题T12变式）如图，四边形 是正方形， ， 两点的坐 标分别是 ， ，点 在第一象限，则点 的坐标是_ _____. &2& 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 3.如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，试添加一个条件_____ _____，使得矩形 为正方形. （答案不唯一） 一、正方形的性质 例1 如图，正方形 的边长为4，对角线 ， 相交于点 ， ， 分别在边 ， 上. （1） 的面积为___； 4 （2）若 ，则 _____ ； （3）若 ，则 与 的数量关系是_ _____； 67.5 （4）若 ， ①判断 与 的数量关系并求四边形 的面积； 解： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， . 在 和 中， ， ， . ②当 时，求 的值. 解： ， ， ， ， ， ， ， ， . 又 ， ， ， . 二、特殊平行四边形的判定 例2 多维设问 如图，平行四边形 的对角线 与 交于点 ，下列四个条件：① ；② 平分 ；③ ；④ . （1）从中任选一个条件，能证明四边形 是矩形的是_____； （2）从中任选一个条件，能证明四边形 是菱形的是_____； （3）从中任选两个条件，能证明四边形 是正方形的是_____ _____； （4）若四边形 是一般四边形，当对角线_____时，是正方 形. ③或④ ①或② ①③或①④或②③或②④ 互相垂直平分且相等 例3 多维设问 如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的中点，过点 作 与 的延长线交于点 ，连接 . （1）求证：四边形 是平行四边形； 证明： 为 的中点， 为 的中点， ， . ， ， . 在 和 中， ， ， . ， 四边形 为平行四边形. （2）当 满足什么条件时，四边形 为矩形？证明你的结论； 解：当 满足 时，四边形 为矩形. 证明： ， 是 边上的中线， ，即 . 四边形 为平行四边形， 四边形 为矩形. （3）当 满足什么条件时，四边形 为菱形？证明你的结论； 解：当 满足 时，四边形 为菱形. 证明： ， 是 边上的中线， . 四边形 为平行四边形， 四边形 为菱形. （4）当 满足什么条件时，四边形 为正方形？ 解：当 满足 ， ，即 是等腰直角三角形时，四边形 为正方形. &3& 正方形的性质（5年36考） 第1题图 1.（2022青岛7题3分）如图， 为正方形 对角线 的中 点， 为等边三角形.若 ，则 的长度为( ) B A. B. C. D. 第2题图 2.（2020烟台9题3分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方 魔板”.在一次数学活动课上，小明用边长为 的正方形纸片制作 了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品———奔跑者”，其中 阴影部分的面积为 的是( ) D A.&4& B.&5& C.&6& D.&7& 3.（2020枣庄17题4分）如图， ， 是正方形 的对角线 上的两点， ， ，则四边形 的周长 是_____. 4.（2023枣庄15题3分）如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ， 为 上一点， ， 为 的中点，若 的周长为32，则 的长为_ __. 5.（2021威海18题3分）如图，在正方形 中， ， 为 ... ...
