《平面向量的应用举例》教案 课题 1.7平面向量的应用举例 单元 第一单元 学科 数学 年级 高一 教学目标与核心素养 1.数学抽象：利用日常的具体事例将平面向量具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学建模：掌握平面向量的相关知识，为空间向量的学习打好基础的同时，也能学习利用向量解决实际问题。 4.直观想象：通过平面向量来解决几何以及物理中的问题； 5.数学运算:能够正确解决几何以及物理中的问题； 6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。 重点 难点 重点：平面几何中的向量方法；物理中的应用。 难点：平面几何中的向量方法。 教学过程 教学环节 教师活动 新课导入 情境导入： 平面向量是现实生活实际在数学中的具体反映,是对位移、速度、力等具体问题的抽象和概括;反过来,向量有关知识能更有效地解决这些实际问题.物理问题中的力、速度、加速度、位移等本身就是向量,另有一些量是向量运算的结果，例如:P=Mv是数乘运算，功W=F·S是F与S的数量积。 新知探究 新知探究（一）：平面几何中的向量方法 如图，△ABC是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点。求PA·(PB+PC)的最小值。 解：取等边△ABC的中心O. 记a=OA,b=OB,c=OC,s=OP,则a+b+c=0. 又PA=OA-OP=a-s, PB+PC=(b-s)+(c-s)=b+c-2s=-a-2s, 所以PA·(PB+PC)=(a-s)·(-a-2s) =2s2-a·s-a2=2(s-a)2-a2. 当OP=s=a时，上式取最小值-a2， 因为等边△ABC的边长为2，所以|OA|= |a|=. 所以-a2=-()2=-. 因此，当点P满足OP=OA时， PA·(PB+PC)取最小值，其最小值为-. 练一练 在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.若a·b=b·c=c·d=d·a,试判断四边形ABCD的形状。 分析：观察所给条件等式，联想数量积的分配律,可得b·(a-c)=0及d·(a-c)=0,进而可得到四边形的对边及邻边的位置关系，从而确定其形状。 解： a·b=b·c, b·(a-c)=0. b⊥(a-c) 同理d⊥(a-c). b∥d,同理a∥c. 四边形ABCD是平行四边形。 又b⊥(a-c),b⊥a, 四边形ABCD是矩形。 判断几何图形的形状，常涉及向量的平行、垂直及模长度等向量的运算。本例通过整体的方法(即把差向量看成一个整体)观察分析所给的条件，联想有关的性质及运算律，从而得到结论。 新知探究（二）：物理中的应用 如图，一个物体用两根绳子悬挂起来.已知物体所受的重力G大小为20N，两根绳子与铅垂线的夹角分别为30°与45°。求这两根绳子所受力的大小（精确到0.1N）。 解： 方法一： 如图，以, 的公共点O为原点，以水平方向为x轴， 以铅垂线方向为y轴，建立平面直角坐标系。 有题意知, 的合力的大小为20N， 方向与重力方向相反，即为y轴正方向，因此 的坐标为(0,20)。 设||=a, | |=b,则 =(-asin30°,acos30°)=(-a,a), =(bsin45°,bcos45°)=(b,b). 又=+, 所以 解方程组得a=20(-1) ≈14.6(N) b=10(-) ≈10.4(N). 方法二： 如图，在△OAC中,∠AOC=45°,∠ACO=30°, 所以∠CAO=105°. 而||=20N, 由正弦定理得 ==, 用计算器算得 ||≈14.6(N) ||≈10.4(N) 因此，这两根绳子所受力的大小分别为14.6N和10.4N。 练一练： 如图所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳使OA的连接点A向上移动，而保持O点的位置不变，则在A点向上移动的过程中,OA绳与OB的拉力大小如何变化 分析：此题可以抽象为如图2所示的数学模型，三个力G, , 保持平衡,合力为0. 如图1，电灯受G,,三个力作用，且保持平衡，由向量的三角形法则知G,,必构成一个封闭三角形，如图2,当点A向上移动时,OA绳与墙面的夹角逐渐减小。 由图2可知，||先减小,，当与垂直时，||最小，然后增大，而||一直减小。 在解决物理问题时，要注意以下几点： （1）利用几何图形 来说明两根绳子受力的变 ... ...
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