中小学教育资源及组卷应用平台 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 1.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(x+y)e2=e1+3e2,求x+2y的值. 2.(多选)已知向量a、b不共线,则下列各组向量中,能作为平面向量的一组基底的有( ) A.{a+b,2a+b} B.{2a-b,-2a+b} C.{3a,a+2b} D.{a-b,3a-2b} 3.已知e1,e2不共线,设向量a=e1sin θ,b=e2·cos θ,若{a,b}是平面内所有向量的一个基底,求θ的取值范围. 4.如图所示,已知=a,=b,=c,=3,则下列等式中成立的是( ) A.a=b-c B.a=b+c C.a=4b+3c D.a=4b-3c 5.如图,在△ABC中,=,=,若=λ+μ,则=( ) A.-3 B.3 C.2 D.-2 6.在平行四边形ABCD中,M、N分别在BC、CD上,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则△AMN的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 7.(多选)如图,点O是正八边形ABCDEFGH的中心,且||=1,则( ) A.与能构成一组基底 B.·=0 C.+= D.·=- 8.(多选)直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足=2,点M、N在过点P的直线上,若=m,=n(m>0,n>0),则下列结论正确的是( ) A.+为常数 B.m+2n的最小值为3 C.m+n的最小值为 D.m、n的值可以为,2 9.如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若=x+y,则x+y= . 10.如图,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m+,若||·||=8,则||的最小值为 . 11.如图,在△OCB中,点A是BC的中点,点D是靠近点B将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b. (1)用a,b表示向量,; (2)若=λ,求λ的值. 12.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值. 13.已知△ABC中,点M是线段BC上靠近B的三等分点,=,则=( ) A.-+ B.-+ C.-+ D.-+ 14.如图,平面内有三个向量,,,与的夹角为120°,与的夹角为150°,且||=||=1,||=3,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ= ( ) A. B.-9 C.- D.9 15.如图,在正方形ABCD中,N是线段CD上的一动点(不含端点),BN交AC于点E,若=λ,=μ,则μ(λ+1)=( ) A. B.1 C. D.2 16.如图,在△ABC中,D是线段BC上的一点,且=4,过点D的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若=λ,=μ(λ>0,μ>0),则λ-的最小值是 ( ) A.2-21 B.2+4 C.2-4 D.2+2 17.(多选)设P是△OAB内部(不含边界)的一点,以下可能成立的是( ) A.=+ B.=+ C.=+ D.=+ 18.在等边△ABC中,D为边BC上的点且满足=2,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,若=λ+μ,则λ+μ的值是 . 19.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=,E为BC的中点,若线段DE上存在一点M满足=+m(m∈R),则·的值是 . 20.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,△ACD是边长为2的等边三角形,点E是BC边上的动点(不含端点). (1)若=x+y,求实数x,y的值; (2)求(+)·的最小值. 21.在△ABC中,P为AB的中点,O在边AC上,BO交CP于R,且||=2||,设=a,=b. (1)试用a,b表示; (2)若H在BC上,且RH⊥BC,设|a|=2,|b|=1,θ=
,若θ∈,求的取值范围. 参考答案 1.解析：由题意得解得故x+2y=4. 2.答案：ACD 3.解析：因为{a,b}是平面内所有向量的一个基底,所以a,b不共线.又e1,e2不共线,则sin θ≠0且cos θ≠0,解得θ≠kπ(k∈Z).故θ的取值范围是. 4.答案：D 5.答案：B 6.答案：C 7.答案：BC 8.答案：ABD 9.答案：+1 10.答案： 11.解析：(1)∵点A是BC的中点, ∴=(+),∴=2-=2a-b, 又点D是靠近点B将OB分成2∶1的一个内分点, ∴==b, ∴=-=(2a-b)-b=2a-b. (2)解法一(利用方程的思想):∵C,E,D三点共线, ∴存在实数μ,使得=μ, 又=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b,∴(2-λ)a-b=μ, 又a,b不共线,则解得λ=. 解法二(利用三点共线系数和为1):∵=λ,∴=+, 又∵=,∴=+, 又∵C、D、E三点共线,∴+=1,解得λ=. 12.解析：解法一:=x+y,两边平方得1=x2+y2+2xy ... ... 
