1.5 课时2 数量积的坐标表示及其计算 【学习目标】 1.理解掌握向量数量积的坐标表达式,会利用坐标进行数量积的运算.(数学抽象、数学运算) 2.掌握向量的模、夹角等公式,能根据公式解决向量的模、夹角、垂直等有关问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.平面向量的数量积(内积)的定义是什么 【答案】 a·b=|a||b|cos θ. 2.向量a与b垂直的条件是什么 【答案】 a·b=0. 3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何计算a与b的数量积 【答案】 a·b=x1x2+y1y2. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1y2-x2y1=0. ( ) (2)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两个向量的夹角θ一定是锐角. ( ) (3)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. ( ) (4)若向量a=(1,0),b=,,则|a|=|b|. ( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)=( ). A.11 B.5 C.-14 D.10 【答案】 A 【解析】 由题意得a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.故选A. 3.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),则cos
= ,|a-b|= . 【答案】 - 【解析】 由已知得a·b=1×2+2×(-2)=-2,所以cos==-. 又a-b=(-1,4),所以|a-b|==. 【合作探究】 探究1 平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),类比向量数乘的坐标表示,探究平面向量数量积的坐标表示. 问题1:若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示 【答案】 a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 问题2:能否用a,b的坐标表示a·b 怎样表示 【答案】 能,a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 问题3:向量垂直与向量的数量积的关系是什么 能用坐标表示向量垂直吗 【答案】 a⊥b a·b=0,能. 新知生成 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 数量积 a·b=x1x2+y1y2 向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0 新知运用 一、给出坐标求数量积 例1 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a·(a-b); (2)求(a+b)·(2a-b); (3)若c=(2,1),求(a·b)c,a(b·c). 方法指导 根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算. 【解析】 (1)(法一)∵a=(-1,2),b=(3,2),∴a-b=(-4,0),∴a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4. (法二)a·(a-b)=a2-a·b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a·b)c=[(-1,2)·(3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16). 【方法总结】 进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两种方法:一是先将各向量用坐标表示,再直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10,求: (1)向量a的坐标; (2)若c=(2,-1),求(a·c)b. 【解析】 (1)由题意可设a=λb=(λ,2λ)(λ>0). ∵a·b=10,∴λ+4λ=10,解得λ=2,∴a=(2,4). (2)∵a·c=2×2+(-1)×4=0, ∴(a·c)b=0. 二、向量垂直的坐标表示的应用 例2 已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:⊥. (2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标. 【解析】 (1)∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3). 又∵·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥. (2)∵⊥,若四边形ABCD为矩形,则=. 设点C的坐标为(x,y),则有(1,1)=(x+1,y-4), ∴解得∴点C的坐标为(0,5). 【方法总结】 涉及非零向量a,b的垂直问题时,一般需借助a⊥b a·b=x1 ... ... 