1.7 平面向量的应用举例 【学习目标】 1.能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题.(直观想象、数学运算) 2.掌握两种基本方法———选择基向量法和建坐标系法.(直观想象、数学运算) 3.能用向量知识处理一些简单的物理问题.(数学抽象、数学运算) 【自主预习】 1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题 【答案】 可以解决平行、垂直、长度以及夹角问题. 2.向量在物理问题中的应用有哪些 【答案】 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的减法和加法相似,故可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量,即为力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角). 1.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是( ). A.2 B. C.3 D. 【答案】 B 【解析】 由题意得BC的中点为D,6,=-,5,所以||=. 2.当两人提起重力大小为|G|的旅行包时,两人用力方向的夹角为θ,用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为( ). A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】 D 【解析】 作=F1,=F2,=-G(图略), 则=+, 当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC为正三角形, 所以∠AOC=60°,从而∠AOB=120°. 3.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m,且F与s的夹角为60°,则力F所做的功W= J. 【答案】 300 【解析】 W=F·s=|F||s|cos=6×100×cos 60°=300(J). 【合作探究】 探究1 平面向量在几何中的应用 如图所示,水渠横断面是四边形ABCD,=,且||=||. 问题1:如何判断这个四边形的形状 【答案】 利用向量共线和向量模的定义,证明该四边形是等腰梯形. 问题2:向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会 【答案】 全等、相似、长度、夹角等几何性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.例如,向量的模对应着几何中的长度. 问题3:把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中,你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗 【答案】 矩形两对角线的平方和等于四边的平方和. 新知生成 用向量方法解决平面几何问题的步骤: (1)用基向量表示待证或待求问题,然后利用数量的运算解决问题. (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等. (3)再把运算结果“翻译”成几何关系. 新知运用 一、证明平行、垂直问题 例1 在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC. 方法指导 可以选用基向量,利用向量运算证明,也可以建系,利用坐标运算解决. 【解析】 (法一)由题意可设=e1,=e2,|e1|=|e2|,则=2e2, ∴=+=e1+e2, =-=(e1+e2)-2e2=e1-e2. ∵·=(e1+e2)·(e1-e2)=-=|e1|2-|e2|2=0,∴⊥,即AC⊥BC. (法二)如图,建立平面直角坐标系,设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1), ∴=(-1,1),=(1,1), ∴·=(1,1)·(-1,1)=-1+1=0,∴⊥, 即AC⊥BC. 【方法总结】 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)几何法:选取适当的基(基中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算. (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 如图,正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点,F是BC的中点,求证:DE⊥AF. 【解析】 ∵·=+·+=--·,而AD⊥AB,AD=AB,∴·=0, ∴⊥,即DE⊥AF. 二、解决向量中的最值问题 例2 如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=4,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上,求·的最大值. 方法指导 先根据条件求得点C到BD的距离d,再把所求转化为·=·+·,即可求得【答案】. 【解析】 在矩形ABCD中,AB=2BC=4,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上, 连接AC,CM,所以||=||=2,如图 ... ...
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