2.2 课时1 空间向量的概念及线性运算 【学习目标】 1.理解空间向量的有关概念.(数学抽象) 2.掌握空间向量的线性运算.(数学运算) 3.掌握共线向量定理及其应用.(数学运算、逻辑推理) 【自主预习】 1.回忆一下平面向量是怎么定义的 【答案】 在平面中,具有大小和方向的量叫作平面向量. 2.回忆一下平面向量的有关内容并回答以下问题: (1)如图,该向量如何表示 其模如何表示 【答案】 该向量表示为或a.其模记为||或|a|. (2)零向量和单位向量如何定义 【答案】 长度为0的向量叫作零向量;模为1的向量叫作单位向量. (3)平面中某两个长度一样但方向相反的向量是什么向量 【答案】 相反向量. (4)平面中某两个向量平行或重合,这两个向量称为什么向量 【答案】 共线向量或平行向量. (5)方向相同且模相等的向量称为什么向量 【答案】 相等向量. 3.平面向量的运算律有哪些 【答案】 平面向量的线性运算满足的运算律:交换律、结合律和分配律. 4.对任意两个平面向量a,b,如果a=λb(λ∈R),那么a与b有什么位置关系 反过来,当a,b有什么位置关系时,a=λb(λ∈R) 【答案】 对任意两个平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在空间中,任意一个向量都可以进行平移. ( ) (2)在空间中,互为相反向量的两个向量必共线. ( ) (3)空间向量的加减运算的结果不一定是向量. ( ) (4)共面向量一定平行. ( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.下列说法中正确的是( ). A.任意两个空间向量都可以比较大小 B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行 C.若|a|=|b|,则a与b共线 D.空间向量的模可以比较大小 【答案】 D 【解析】 任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,与任何向量平行,故B错误;a与b的模相等,但方向不确定,故C错误;因为向量的模是一个实数,所以可以比较大小,故D正确. 3.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,以顶点为向量的起点或终点,且与向量的模相等的向量有( ). A.7个 B.3个 C.5个 D.6个 【答案】 A 【解析】 由平行六面体的定义可知几何体各个面均为平行四边形, ∴||=||=||=||=||=||=||=||, 则与向量的模相等的向量有,,,,,,,共7个. 4.已知在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,则=( ). A.a+b-c B.-a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 【答案】 C 【解析】 =++=-+=-a+b+c. 【合作探究】 探究1 空间向量的基本概念 已知一个正三角形钢板,三个顶点用等长的绳子绑起,在力F的作用下匀速上升,三根绳子的受力情况如图所示. 问题1:在物理学中,力是什么量 这三个力共面吗 这三个力在数学上叫什么 【答案】 力是矢量;这三个力不共面;这三个力在数学上叫空间向量. 问题2:你能否根据平面向量的定义,试着叙述一下空间向量的定义 【答案】 在空间中,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. 问题3:这两个定义有何区别 本质是否相同 【答案】 定义的区别:平面向量与空间向量的不同之处就在于一个在平面内,一个在空间中.本质相同:空间中的一个向量一定能够平移到平面中,因此,空间中的一个向量既是平面向量也是空间向量. 新知生成 1.空间向量 把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量,空间向量a的大小(或长度)称为向量a的模,记为|a|. 2.相等向量 从不同点出发的向量,只要它们的方向相同且长度相等,就称它们为相等向量. 3.相反向量 方向相反、长度相等的向量称为相反向量. 新知运用 例1 如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中. (1)试写出与相等的所有向量; (2)试写出的所有相反向量; (3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模. 方法指导 (1)根据相等向量、相反向量的概念求解;(2)根据模的概念以及空间几何体的线面性质求解. ... ...
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