第2课时 空间向量的数量积 基础过关练 题组一 数量积的概念及运算律 1.下列说法错误的是 ( ) A.设a是空间向量,则a2=|a|2 B.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·a C.设a,b是两个非零空间向量,则(a·b)2=a2·b2 D.设a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c 2.(2024天津河东期中)如图,若正四面体A-BCD的棱长为1,且,则=( ) A.-1 B.- C. D.1 3.(多选题)设几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则以下结论正确的有( ) A.=-a2 B.a2 C.=a2 D.=a2 4.(2023河南鹤壁月考)如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为BC的中点,则等于( ) A.3 B.2 C.1 D.0 5.(2024广东东莞中学第一次段考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1上任意一点,则= . 题组二 空间向量的数量积的应用 6.(2024河北唐山十县一中联盟期中)在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则方向上的投影向量为( ) A. B. C. D. 7.(多选题)(2022广东珠海二中期中)如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A,B两点以外其余的十六个点,则的值可能是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.(2024山西吕梁期中)在四面体ABCD中,BC=1,BD=2,∠ABC=90°,,则∠CBD= . 9.如图,已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=. (1)求B1D的长; (2)求夹角的余弦值. 能力提升练 题组 空间向量的数量积的应用 1.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,AB=1,PD=2,则异面直线PA与BD夹角的余弦值为( ) A.- B. C.- D. 2.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,则△BCD一定是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 3.(多选题)(2024辽宁沈阳重点高中联合体期中)已知空间单位向量两两之间的夹角均为60°,,则下列说法中正确的是( ) A.=1 B.·( C.| D.cos< 4.已知空间向量a,b,|a|=2,|b|=1,
=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 . 5.(2024山东泰安第一中学月考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使的夹角为60°,则折起后,BD= . 6.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,M是A1C1的中点,AB=7,N,G分别在棱BB1,AC上,且BN=AC,平面MNG与AB交于点H,则= . 7.如图所示,四边形ABCD是矩形,EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,G是AD上一动点,求FG的长度的取值范围. 8.(2022湖南长沙周南中学月考)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为. (1)若侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1; (2)若AB1与BC1的夹角为,求侧棱长. 答案与分层梯度式解析 第2课时 空间向量的数量积 基础过关练 1.C a2=|a|2cos 0=|a|2,故A中说法正确; 由向量数量积的运算律知B,D中说法正确; 设a,b的夹角为θ,则(a·b)2=(|a||b|cos θ)2=|a|2|b|2cos 2θ≤a2·b2,故C中说法错误. 2.C )·×1×1×cos 60°+×1×1×cos 60°=.故选C. 3.AC 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 对于A,方向上的投影数量为-a, ∴=-a2,故A正确; 对于B,方向上的投影数量为a, ∴=a2,故B错误; 对于C,方向上的投影数量为a, ∴=a2,故C正确; 对于D,方向上的投影数量为-a, ∴=-a2,故D错误. 故选AC. 4.D 由题意得=0, ∵, ∴)·(, 又∵DB=DC,即=0.故选D. 5.答案 4 解析 棱长为2的正方体ABC ... ... 
