2024年集英苑冬季竞赛高中数学（PDF版含答案）

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，共40分。 1.D 2.B 3.A 4.C 5.c 6.D 7.C 8.D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，共20分。 9.下 10.1 111+2 12.2 三、解答题：本大题共5小题，共0分。 13.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成角等基础知识，同时考查直观想象素养。 满分15分。 (I)由D,E分别是BC1,AC,的中点知DE∥AB. 又因为ABC一AB,C1是三棱柱，故DE∥AB1, 又DE不在平面AB,C1上，因此DE∥平面AB,C1 (Ⅱ)设锐二面角A-AB,-C1的平面角的大小是B, 连接AB,由AC,1平面A,BC,知a+B=∑ 又AB⊥BC,故AB,⊥B,C1,因此∠AB,C:=B, LB,AC a,tanLB AC,=AC BC (第13题图) 由AD1BC,D是BC的中点知AG,=AB.又1an∠BAC=G,而BC=B,C, 得tan∠BAC=tan∠B,AC1,故∠BAC=∠B,AC,=a. 14.本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其运用，同时考查数学运算，逻辑推理等素养。满分 15分。 (I)当a=0时，f(x)=xlnx,x>0. f'(x)=1 +Inx, 所以，(x)的单调递减区间是(0，。)，单调递增区间是（上，+） (Ⅱ)不存在，理由如下： 假设存在a,使得f(x)是(0，+∞)上的单调递增函数，且g(x)是(-a,+)上的单调 递增函数 令h(x)=g(x-a)=(x-a)lnx,则h(x)是(0，+a)上的单调递增函数 又f(x)也是(0，+o)上的单调递增函数，令F(x)=f八x)+h(x)=xlnx,则F(x)是 (0,+∞)上的单调递增函数， 但由(I)知函数F(x)=xlnx在(0，+o)上不单调 故不存在a,使得f(x)是(0，+∞)上的单调递增函数，且g(x)是(-a,+3)上的单调 递增函数 15.本题主要考查复数的基本概念和运算，复数的几何意义等基础知识，同时考查数学抽象，数学运 算，逻辑推理等素养。满分20分。 (I)是，理由如下： 取复平面上的圆 {z1川z-2|=2}, 则复数1,2,3在复平面上对应的点都在圆内， 而 12-i=√5， 故复数ⅰ在复平面上对应的点在圆外 因此，{1,2,3}是{i,1,2,3}的“可分离子集” (Ⅱ)必要性：当1z<1时，令复数 a=21-11)Rc(e), 取复平面上的圆 wllo-al =1z-al, 则z, 在复平面上对应的点在圆周上， 又 11-a|-|z-a1>1-2a-|z|>0, 故1在复平面上对应的点在圆外 由 I z-al 2=Iz12-2aRe(z)+a2, I iz al 2 1z12+2alm(z)+a2, 知 |iz-a|>1z-a1, 故z在复平面上对应的点在圆外， 因此，当1z1<1时，{z,}是{1，z,2,引的“可分离子集” 充分性：只需证当|z|≥1时，{z,不是{1，z,名，}的“可分离子集”. 假设存在复平面上的一个圆，使得：，z在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，z在复 平面上对应的点在圆外 设圆心表示的复数为w,x=Re(w),y=Im(w).再设b=Re(z),c=Im(z).绝密★启用前 2024年集英苑冬季赛 数 学 姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共3页，满分150分，考试时间140分钟。 选择题部分（共40分)》 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.log 4 A.-1 B.0 c.1 D.2 2.平面向量4=(1,1)，b=(2,3),则1a+b1= A.3 B.5 C.7 D.11 x≥-1， 3.已知实数x,y满足约束条件{y≥2x, 该约束条件在坐标平面上表示的区域如图所示，则y的 y≤x+1, 取值范围是 A.[-2,2] B.[-1,1] C.[-2,1] D.[-1,2] (第3题图) 4.已知等比数列{an}满足a1=a2a>1,若an=1,则n= A.2 B.3 C.4 D.5 5.设a,b∈R,集合A={a,a2+1},B={b,b2+1}.则“A=B”是“a=b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上.若 这些学生的原始分的最大值为a,最小值为b,令f(x)为满足f代a)=100,f(b)=97的一次函 数.对于原始分为x(b≤x≤a)的学生，将(x)的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始 分96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林 ... ...