3.1.2 课时2 椭圆简单几何性质的应用 【学习目标】 1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断点、直线与椭圆的位置关系.(逻辑推理) 2.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.点与圆有几种位置关系 点与椭圆呢 【答案】点与圆有3种位置关系:点在圆内,点在圆外,点在圆上.点与椭圆也有3种位置关系:点在椭圆内,点在椭圆外,点在椭圆上. 2.判断直线与圆的位置关系有哪几种方法 【答案】①几何法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径的大小关系判断,d=r 相切;d>r 相离;db>0)的位置关系是相交或相切. ( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(多选题)已知点(3,2)在椭圆+=1(a>b>0)上,则( ). A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上 【答案】BC 【解析】由椭圆的对称性知,点(-3,-2),(-3,2),(3,-2)均在椭圆上. 3.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是( ). A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 【答案】A 【解析】把x+y-3=0代入+y2=1, 得+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0. ∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0, ∴直线与椭圆相离. 4.已知直线y=kx+1与椭圆+y2=1相交于A,B两点,若AB中点的横坐标为1,则k的值为 . 【答案】- 【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+1代入+y2=1,得(1+4k2)x2+8kx=0,则x1+x2=-,因为AB中点的横坐标为1,所以-=1,解得k=-. 【合作探究】 探究1：点与椭圆的位置关系 情境设置 问题:如何判断点与椭圆的位置关系 【答案】把点的坐标代入椭圆方程左边进行计算,其值大于1,点在椭圆外;其值小于1,点在椭圆内;其值等于1,点在椭圆上. 新知生成 点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系: 点P在椭圆上 +=1 ; 点P在椭圆内部 +<1 ; 点P在椭圆外部 +>1 . 新知运用 例1 若直线y=kx+1恒过定点A,且点A位于焦点在x轴上的椭圆+=1的内部(含边界),求实数m的取值范围. 方法指导 先求定点A,然后根据点A在椭圆内部(含边界),建立不等式求解. 【解析】由题意知直线y=kx+1过定点A(0,1). ∵点A在椭圆+=1内或椭圆上,∴+≤1,∴m≥1.又椭圆焦点在x轴上,∴m<5,故实数m的取值范围为[1,5). 【方法总结】判断点与椭圆的位置关系,可将点的坐标代入椭圆方程,然后判断.已知关键点的位置求参数范围,可根据点的位置建立不等式求解. 巩固训练 已知直线l过点(3,-1),且椭圆C的方程为+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为( ). A.1 B.1或2 C.2 D.0 【答案】C 【解析】因为直线l过定点(3,-1),且+<1, 所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点. 探究2：直线与椭圆的位置关系 情境设置 问题1:如图所示,移动直线l,观察直线l与椭圆有几种位置关系. 【答案】有三种,相切、相交、相离. 问题2:已知直线l和椭圆C的方程,如何判断直线与椭圆的位置关系 【答案】要判断直线与椭圆的位置关系,应通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0 直线与椭圆相交; Δ=0 直线与椭圆相切; Δ<0 直线与椭圆相离. 新 ... ...
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