5.5 数学归纳法 【学习目标】 1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象、逻辑推理) 2.掌握数学归纳法的步骤.(逻辑推理) 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理) 【自主预习】 1.如果你从袋子里拿出5个小球,发现全部都是绿色的,那么能否判断袋子里面的小球都是绿色的 2.对于数列{an},已知a1=1,(n+2)an+1=(n+1)an(n=1,2,3,…),通过对n=1,2,3,4前4项的归纳,猜出其通项公式为an=.而在教材第51页中,根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明,说明猜想是正确的,其证明步骤是什么 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. ( ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. ( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( ) 2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1×3×…·(2n-1)”时,从“k”到“k+1”左端需增乘的代数式为( ). A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. 3.用数学归纳法证明:++…+>-,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 . 4.用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步验证当n=1时,左边应取的项是 . 【合作探究】 探究1 数学归纳法 问题:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么 新知生成 一个与 自然数 有关的命题,如果 (1)当n=n0时,命题成立; (2)在假设n= k(其中k≥n0) 时命题成立的前提下,能够推出n= k+1 时命题也成立. 那么,这个命题对 大于等于n0 的所有自然数都成立. 新知运用 例1 用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=(n∈N+)”,则当n=k+1时,应当在n=k时对应的等式的左边加上( ). A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3 B.k3+1 C.(k+1)3 D. 方法指导 先确定当n=k 时等式左端的代数式,再确定当n=k+1时等式左端的代数式,进而确定其应当在n=k时对应的等式的左边加上的代数式. 【方法总结】 用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 证明:1-+-+…+-=++…+(n∈N+). 探究2 用数学归纳法证明不等式 例2 已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N+),用数学归纳法证明:an
k(k为正整数),则n0=k+1. (2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用到归纳假设,不运用归纳假设的证明不是数学归纳法,因为缺少归纳假设. (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.第二种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个n值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得出n=k+1时也成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等. 用数学归纳法证明: 1+++…+<2-(n∈N+,n≥2). 探究3———归纳—猜想—证明”问题 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=,且a1=. (1)求a2,a3; (2)猜想数列{an}的通项公式,并证明. 方法指导 (1)令n=2,3可分别求出a2,a3. (2)根据a1,a2,a3的值,找出规律,猜想an,再用数学归纳法证明. 【方法总结】 ———归纳—猜想—证明”的一般步骤 已知函数y=f(n)(n∈N+),设f(1)=2,且对任意的n1,n2∈N+,都有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2). (1)求f(2),f(3),f(4)的值; (2)试猜想f( ... ... 