6.1.3 基本初等函数的导数 学案(原卷版+解析版) 2023-2024学年高一数学人教B版（2019）选择性必修第三册

6.1.3　基本初等函数的导数 【学习目标】 1.能根据定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=,y=的导数.(数学运算) 2.结合实际例子,掌握几个常见函数的导数.(数学运算) 3.能利用所给基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.回顾之前所学的内容,你学过哪些基本初等函数 【答案】　幂函数,指数函数,对数函数,三角函数. 2.如何用定义求函数y=f(x)的导数f'(x) 【答案】　定义法求导数的步骤:(1)求出Δy,;(2)f'(x)=. 故f'(x)=y'=. 3.f'(x)与f'(x0)的区别是什么 【答案】　f'(x0)是一个确定的数,f'(x)是函数f(x)的导数. 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数. (　　) (2)若y=,则y'=×2=1. (　　) (3)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x. (　　) (4)若y=,则y'=. (　　) 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.给出下列结论: ①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'=-; ③若y=2x,则y'=2xln 2;④若y=log2x,则y'=. 其中正确结论的个数为(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】　C 【解析】　对于①,y'=0,故①错误;显然②③④正确.故选C. 3.若函数f(x)=10x,则f'(1)=(　　). A. B.10 C.10ln 10 D. 【答案】　C 【解析】　∵f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10. 4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为　　　　. 【答案】　y=e2(x-1) 【解析】　∵y'=ex,∴当x=2时,y'=e2, ∴在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2(x-1). 【合作探究】 探究1　利用导数公式计算导数 　　在科学研究和工程计算中,经常会使用到一些基本初等函数的导数. 问题1:你知道f(x)=sin x,f(x)=cos x的导数公式吗 【答案】　f'(x)=cos x,f'(x)=-sin x. 问题2:你知道f(x)=ax,f(x)=loga x的导数公式吗 【答案】　f'(x)=axln a(a>0,且a≠1),f'(x)=(a>0,且a≠1). 新知生成 1.一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都　可导　,那么称f(x)可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x).于是,在f(x)的定义域内,　f'(x)　是一个函数,称其为函数y=f(x)的导函数.记作f'(x)(或y',y'x),即f'(x)=y'=y'x= 　. 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=　0　 f(x)=xα(α≠0) f'(x)=　αxα-1　 f(x)=sin x f'(x)=　cos x　 f(x)=cos x f'(x)=　-sin x　 f(x)=ax f'(x)=　axln a　(a>0,且a≠1) f(x)=ex f'(x)=　ex　 f(x)=logax f'(x)=(a>0,且a≠1) f(x)=ln x f'(x)= 新知运用 例1　求下列函数的导数. (1)y=;(2)y=log3x;(3)y=; (4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln. 【解析】　(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-. (2)y'=(log3x)'=. (3)y'=()'=()'=. (4)因为y=-2sin =2sin=2sin cos =sin x, 所以y'=(sin x)'=cos x. (5)因为y=3ln x+ln =ln x3+ln =ln x, 所以y'=(ln x)'=. 【方法总结】　　利用导数公式求解,必要时进行合理变形、化简,再求导. 求下列函数的导数. (1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2; (4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0. 【解析】　(1)y'=(x14)'=14x13. (2)y'='=ln=-ln 3. (3)y'=(x-2)'=-2x-3=-. (4)∵y==cos x, ∴y'=-sin x. (5)∵y=e0=1,∴y'=0. 探究2　f'(x)与f'(x0)的区别与联系 新知生成 f'(x)表示函数y=f(x)的导数,而f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的导数.f'(x)是一个函数,是y=f(x)的导数值关于x的函数,而f'(x0)是一个具体的数值,是函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线斜率. 新知运用 例2　求函数f(x)=的导数f'(x)及f'(1). 【解析】　因为f(x)=,所以f'(x)=,所以f'(1)=. 【方法总结】　　求函数在某点(点在函数图象上)处的导数的步骤:(1)先求函数的导函数;(2)再把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值. 求函数f(x)=x的导数f'(x)及f'(4). 【解析】　因为f(x)=x,所以f'(x)=(x)'=( ... ...