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课件网) 专题一 函数与导数 微专题5 函数的极值、最值 应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数的零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题. 考情分析 思维导图 内容索引 典型例题 热点突破 典例1 已知函数f(x)＝eax(x－1)2. (1)若a＝1，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程； 考点一 利用导数研究函数的极值 当a＝1时，f(x)＝ex(x－1)2，f′(x)＝ex(x2－1)， 所以f′(0)＝e0(02－1)＝－1， 又f(0)＝e0(0－1)2＝1， 所以切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0. (2)求f(x)的极大值与极小值； f′(x)＝aeax(x－1)2＋2eax(x－1)＝eax(x－1)(ax－a＋2)， 当a＝0时，f′(x)＝2(x－1)＝0，解得x＝1， 故当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝0，无极大值. 综上，当a＝0时，f(x)的极小值为f(1)＝0，无极大值； 跟踪训练1 (2023·长沙模拟)设g(x)＝ ＋(x－a)cos x－sin x，a∈R，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. 所以g′(x)＝x2－ax＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)， 令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0， 所以h(x)在R上是增函数， 因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0. (1)当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)， 当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增. 当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a. (2)当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)， 当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增. 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值. (3)当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)， 当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增. 所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a； 当a＝0时，g(x)是增函数，无极值； 当a>0时，g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝ 典例2 已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； 考点二 利用导数研究函数的最值 f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a). 若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数. (2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由. 满足题设条件的a，b存在. ①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝b＝－1，最大值为f(1)＝2－a＋b＝1. 解得a＝0，b＝－1， 此时a，b满足条件； ②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)＝b＝1，最小值为f(1)＝2－a＋b＝－1. 解得a＝4，b＝1， 此时a，b满足条件； 最大值为b或2－a＋b. 综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]上的最小值为－1，最大值为1. 跟踪训练2 (2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝ln x－ (m∈R). (1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间； ∴当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2). (2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值. 得当m≥0时，f′(x)>0， ∴f(x)为增函数， 则f(x)在[1，e]上单调递增， 从而f(x)min＝f(1)＝－m＝4， 可得m＝－4，不符合题意； 当m<0 ... ...
