二项式定理与杨辉三角 学习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理推导二项式定理. 2.能应用定理对二项式进行展开，会求特定的项或系数. 学习活动 情境导入： 小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次. 而投中0次只有1(即)种情况，投中1次有.种情况，投中2次有.种情况…投中10次有种情况. 因此，小张投篮10次，结果共有 . 种情况.那么上式的结果是多少呢？ 目标一：能用多项式运算法则和计数原理推导二项式定理. 任务：通过探究（a+b）2，（a+b）3的展开式的形成过程，推导（a+b）n的展开式. 写出下列式子的展开式： （1）（a+b）1； （2）（a+b）2； 参考答案： （3）（a+b）3. 参考答案： 从(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) ①出发，观察 中右边各项是如何形成的，由此总结出一般规律. 问题1：(a+b)3展开式中，a2b是如何得到的？a3，ab2，b3呢？ 参考答案： 注意到(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)，而展开式中的任何一项都是在右边3个括号中各取一个字母相乘得到的（例如，第一个括号取a,第二个取b,第三个取a,则得到a2b),因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有a3,a2b,ab2,b3. 问题2：根据以上分析，你能否用组合数表示(a+b)3的展开式中a2b的个数？a3,ab2,b3的个数分别如何表示？ 参考答案： 要得到a2b，①式右边的三个括号中，要有1个取b（剩下的2个均取a），因此共有个a2b. 同理可知，①式右边展开后有个ab2. 类似地，a3可以看成①式右边的3个括号中取0个b得到的结果，而b3可以看成①式右边的3个括号中取3个b得到的结果，因此 . 问题3：(a+b)4的展开式是什么？(a+b)n(n∈N*)呢？ 参考答案： . 【概念讲解】 一般地，当n是正整数时，有 上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为(a+b)n的展开式，它共有n+1项，其中 是展开式中的第k+1项(通常用Tk+1表示)，称为第k+1项的二项式系数，我们将称为二项展开式的通项公式. 注意：通项公式中，要求n是正整数，k是满足0≤k≤n的自然数，以后不再声明. 思考：观察二项式定理，你能发现它有哪些特点吗？ 【归纳总结】 二项式定理的特点： (1)二项式展开式的项数为n+1项，比二项式的指数大1； (2)每一项的次数均为n，与左边的幂指数相等； (3)各项中字母a的次数由n逐项减1到0，按降幂排 列，同时，字母b的次数由0逐项加1到n,按升幂排列； (4)各项的二项式系数是 这是一些组合数. 另外：通项公式表示二项展开式的第k+1项，而不是第k项；该项的二项式系数是,而不是. 目标二：能应用定理对二项式进行展开，会求特定的项或系数. 任务1：利用二项式定理，求二项展开式. 写出（2-x）5的展开式. 参考答案： 在二项式定理中，令a=2，b=–x，n=5，可得 练一练： 写出(1+x)6的展开式. 参考答案： 在二项式定理中，令a=1，b=x，n=6，可得 任务2：由通项公式，完成下列问题. 问题1：求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数. 参考答案： 由已知得二项展开式的通项为 ∴第6项的二项式系数为=6, 第6项的系数为·(-1)5·2=-12. 【归纳总结】 二项式系数与项的系数的区别 二项式系数只与各项的项数有关，而且与a，b的值无关； 项的系数指的是该项除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且与a，b的值有关. 问题2：已知在的展开式中,第6项为常数项. (1)求n; (2)求含x2项的系数; 参考答案： 通项公式为. (1)∵第6项为常数项, ∴k=5时,有,即n=10. (2)令,得， 所求的系数为. 【归纳总结】 求形如(a+b)n(m∈N+)的展开式中与特定项相关的量的步骤： 1.利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 ,常把字母和系数分开写（注意特号不要出错）； 2.根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
