课时7 二项式定理和杨辉三角 学习目标 1.掌握二项式系数的性质，会进行应用. 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明. 3.掌握二项式定理的应用. 学习活动 目标一：掌握二项式系数的性质，会进行应用 任务：完成下列问题，掌握二项式系数的性质 问题1：在二项式定理中， (1)令a=b=1； (2)令a=1,b=-1. 写出所得等式，你能得到什么结论？ 【归纳总结】 二项式系数的性质： 例1 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求： (1)n的值； (2)展开式中含有x6的项和该项的二次项系数. 练一练： 已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 目标二：了解杨辉三角，并能结合二项式系数的性质加以说明. 任务：观察杨辉三角，总结其规律. 当n依次取0,1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示： 这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”. 问题1：观察杨辉三角中的数，你能发现它们有哪些规律吗？试用组合数知识加以说明. 问题2：还可以发现，对于给定n，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.这一结论是否具有普遍性呢？试证明. 例2 已知展开式的二项式系数之和为128． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 【归纳总结】 练一练： 已知的展开式中，所有奇数项的系数和等于1024，求展开式中二项式系数最大的项. 目标三：掌握二项式定理的应用. 任务：请尝试完成下列问题，并归纳解决此类题的方法. 例3求证：9998-1能被100整除. 【归纳总结】 例4 当n是正整数且x>0时，求证：(1+x)n≥1+nx. 练一练： 1.用二项式定理证明10110-1能被10整除. 2.假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为1.2%，那么6年后该地区的人口大约为多少？ 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “二项式系数的性质”“杨辉三角” 2二项式定理和杨辉三角 学习目标 1.掌握二项式系数的性质，会进行应用. 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明. 3.掌握二项式定理的应用. 学习活动 目标一：掌握二项式系数的性质，会进行应用 任务：完成下列问题，掌握二项式系数的性质 问题1：在二项式定理中， (1)令a=b=1； (2)令a=1,b=-1. 写出所得等式，你能得到什么结论？ 参考答案： (1)二项式定理中中，如果令a=b=1，则有 . (2)令a=1,b=-1，则有 得 【归纳总结】 二项式系数的性质： (1)二项展开式的二项式系数和为2n.即 . (2)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n-1.即 例1 已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求： (1)n的值； (2)展开式中含有x6的项和该项的二次项系数. 参考答案： （1）依题意可知2n=1024，因此n=10. （2）展开式的通项为 要使此项含有x6，必须有20–2k = 6，从而k=7， 因此含有x6的项为 该项的二项式系数是120. 练一练： 已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( ) A.5 B.6 C.7 D.8 参考答案： ∵(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为32， ∴ 解得n=5.故选A. 目标二：了解杨辉三角，并能结合二项式系数的性质加以说明. 任务：观察杨辉三角，总结其规律. 当n依次取0,1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示： 这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”. 问题1：观察杨辉三角中的数，你能发现它们有哪些规律吗？试用组合数知识加以说明. 参考答案： 杨辉三角至少具有以下性质： (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； 说明：由组合数性质可知， ,所以每一行的数都是对称的，两端的数分别是，显然二者均为1. (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 说明：由组合数性质可知. ... ...
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