第九章 复数 （知识归纳+题型突破） 一、复数的相关概念 1、虚数单位 为了解决负数的开平方问题， 数学家引人了一个不同于实数的新数 ， 称为虚数单位，并规定 即规定是的一个平方根. 更一般地，把任意与虚数单位的乘积记为，并规定虚数单位与实数间的乘法满足交换律与结合律.对于，我们有， 即是的一个平方根.只要就是一个负数，而且任何负数都具有这个形式.因此，引进虚数单位后，我们得到了所有负数的平方根. 虚数单位次方的周期性： ， ， ， ． 2、复数 一个实数可以与形如的数相加，规定把它们的和用实系数二项式的形式表示成. 定义形如的数称为一个复数（complex number）.全体复数构成的集合用字母表示. 其中分别是它的实部（real part）和虚部（imaginary part）. 复数常用单个字母（常用）表示，其实部和虚部则可分别记作和. 我们约定: （1）复数且.; （2）复数且. 对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数.即 ， 所以有：. 3、共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数.一个复数的共轭复数记为. 共轭复数的性质： ①； ②； ③； ④. 二、复数的四则运算 设,,则 ①加法：； ②减法：； ③乘法：； ④除法： 复数的加法、乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律.实际计算中，不必硬记、套用公式，灵活使用运算律即可. 类似于无理数的有理化因式，复数除法运算中，分母为非零复数，分子分母同乘以，，就可以把分母化为实数. 三、复数的几何意义 1、复平面与复数的坐标表示 复数与有序实数对是一一对应关系．有序实数对又与平面直角坐标系中的点又是一一对应的关系．因此可以用平面直角坐标系中的点表示复数. 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴上的点都表示实数，叫做实轴，除了原点外，轴上的点均表示虚数，叫做虚轴.坐标原点表示实数0. 2、复数的向量表示与复数的模 复数的向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 复数的模：向量的长度叫做复数的模，记作.即. 注意：两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小. 复数的模的性质： 3、复数加法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量. 4、复数减法的几何意义： 两个复数的差与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.所以有 四、实系数一元二次方程 1、复数的平方根 如果满足：，则称是的一个平方根. （1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数； （2）复数的平方根一般不要记为. 2、实系数的一元二次方程 实系数的一元二次方程（、、，且） 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根 这时两根仍然满足韦达定理：， . 注： 实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭； 实系数一元二次方程在复数范围内总有两个解、 ，总可以进行因式分解：. 题型一：复数的相关概念 【例1.1】 1．设复数（），则“”是“为纯虚数”的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分非必要条件 D．必要非充分条件 【例1.2】 2．复数，则实数（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【例1.3】 3．复数的虚部是 . 【例1.4】 4．设复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）． A． B．的虚部是 C．在复平面内所对应的点为 D． 【巩固练习】 5．已知复数（i为虚数单位，），若z为纯虚数，则实数a的值为 ． 6．设复数，是实数，则，满足条件 ． 7．若（，是虚数单位）是纯虚数，则m的值为 8．已知复数，若，则 . 9．如果复数（其中为虚 ... ...
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