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课件网) 第55讲 抛物线 课前基础巩固 课堂考点探究 教师备用习题 作业手册 答案核查【听】 答案核查【作】 【课标要求】 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 3.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 4.了解抛物线的简单应用. ◆ 知识聚焦 ◆ 1.抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线不经过点 的距离_____的点 的轨迹叫作抛物线.点叫作抛物线的_____,直线 叫作抛物线的 _____. 相等 焦点 准线 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 _____ _____ _____ _____ 标准方程 性 质 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方 程 _____ _____ _____ _____ 1 续表 标准方程 性 质 范围 开口方 向 向右 向左 向上 向下 续表 标准方程 性 质 通径长 续表 3.直线和抛物线的位置关系 （1）将直线的方程
与抛物线的方程
联 立成方程组，消元转化为关于
（或
）的一元二次方程
（或
），其判别 式为
. 当
时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交 于一点. 当
时， ①
直线和抛物线相交，有两个公共点； ② 直线和抛物线相切，有一个公共点； ③ 直线和抛物线相离，无公共点. （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于, 两点，则 ， 同理可得 . 这里, 的求法通常使用根与系数的关系，需进行如 下变形： ， . 常用结论 抛物线的几个常用结论： （1）若为抛物线的焦点弦，在第一象限内， 为抛物线的焦点，的倾斜角为 ，， 两点的坐标分别为 ， ，则： ； ； ③，， ； ④弦长 ,抛物线的焦点弦中通径（垂直于抛 物线对称轴的焦点弦叫作抛物线的通径）最短； ⑤（其中 为坐标原点）； ⑥以为直径的圆与准线相切，以或为直径的圆与 轴相切； ⑦过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. （2）过抛物线的顶点 作互相垂 直的两条射线且都与抛物线相交，交点分别为， （如图），则直线过定点 ；反之，若过点 的直线与抛物线交于两点 ， ，则必有 . ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 抛物线 的焦点坐标为_____. [解析] 抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为 . 2.［教材改编］ 如图所示，某桥是抛物线形拱 桥，此时水面宽为 ，经过一次暴雨后，水 位上升了，水面宽为 ，则暴雨后的水面 离桥拱顶的距离为__ . [解析] 以拱顶为坐标原点，水平向右的方向为 轴的正方向， 竖直向上的方向为 轴的正方向建立平面直角坐标系. 设抛物线的方程为， 设， ，则 解得 所以暴雨后的水面离桥拱顶的距离为 . 3.［教材改编］ 已知是抛物线的焦点，点 在抛物 线上，且，则 ___. [解析] 抛物线的标准方程为， 则焦点为 ，准线方程为. 因为点在抛物线上，且 ， 所以，即 . 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视抛物线的焦点位置;忽视直线与抛物线位置关系中的 特殊情形. 4.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点 , 则该抛物线的方程为_____. 或 [解析] 设抛物线的方程为或 , 将的坐标代入,可得,, 故所求抛物线的方程为 或 . 5.若过点的直线与抛物线 有且只有一个公共点， 则这样的直线 共有___条. 3 [解析] ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 则当 时，直线的方程为， 满足直线与抛物线 有且只有一个公共点； 当时，直线是抛物线的切线，设直线 的方程为， 代入抛物线的方程可得 ， 由，得，故切线方程为 . ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 满足直线 与抛物线有且只有一个公共点. 综上，满足题意的直线 共有3条. 探究点一 抛物线的定义及应用 例1（1）已 ... ...
