第八章 增分微课8 圆锥曲线中的轨迹问题（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

增分微课8　圆锥曲线中的轨迹问题 例1　A　[解析] 由点M(-2,0),N(2,0),可得|MN|=4,则|PM|-|PN|=4<|MN|=4,根据双曲线的定义,可得点P的轨迹为以M,N为焦点的双曲线的右支,且2a=4,2c=4,可得a=2,c=2,则b2=c2-a2=16,所以点P的轨迹方程为-=1(x≥2).故选A. 变式题　ABC　[解析] 对于A,连接QA,OA,由已知得|QA|=|QP|,所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.又因为点A在圆内,所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义,可得点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为长轴长的椭圆,A正确.对于B,当点A在圆O上时,点Q与圆心O重合,点Q的轨迹为定点,故B正确.对于C,连接QA,OA,由已知得|QA|=|QP|,所以||QO|-|QA||=||QO|-|QP||=|OP|=r.又因为点A在圆外,所以|OA|>|OP|,根据双曲线的定义,可得点Q的轨迹是以O,A为焦点,r为实轴长的双曲线,C正确.对于D,当点A与圆心O重合时,点Q的轨迹为圆,所以点Q的轨迹不可能为抛物线,D错误.故选ABC. 例2　(1)B　(2)y2=4x(x≠0,x≠1) [解析] (1)设动点M(x,y)(y>0),因为A(-1,0),B(1,0),直线AM与直线BM的斜率之积为2,所以·=2(y>0),化简得x2-=1(y>0).故选B. (2)设B(x,y),因为+=,所以+=(x≠0,x≠1),化简可得y2=4x(x≠0,x≠1),故曲线E的方程为y2=4x(x≠0,x≠1). 变式题　解:设M(x,y),因为动点M到直线x=3的距离是到点(2,0)的距离的倍,所以|x-3|=,化简整理可得+=1,故动点M的轨迹方程为+=1. 例3　y=3(x-2)2+1　[解析] 设C(m,n),△ABC的重心为G(x,y),则3x=0+6+m,3y=0+0+n,即m=3x-6,n=3y.由n=m2+3,可得3y=(3x-6)2+3,化简可得y=3(x-2)2+1,故△ABC的重心G的轨迹方程为y=3(x-2)2+1. 变式题　(1)A　(2)x2+y2=2(y≠0) [解析] (1)设M(x,y),由M为线段OP的中点,得P(2x,2y),将点P的坐标代入双曲线方程,得-(2y)2=1,即x2-4y2=1,故点M的轨迹方程是x2-4y2=1.故选A. (2)设M(x0,y0)(y0≠0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足=,可得(x-x0,y)=(0,y0),∴x-x0=0,y=y0,则x0=x,y0=,又+=1(y0≠0),∴+=1(y≠0),∴点P的轨迹方程为x2+y2=2(y≠0). 例4　ABD　[解析] 对于A,依题知曲线C的轨迹方程为·|x-a|=4.∵点(0,0)在曲线C上,∴|a|=2,又a<0,∴a=-2,故A正确.对于B,曲线C的方程为|x+2|·=4,令y=0,得|x2-4|=4,∴x=0或x=2,故B正确.对于C,由|x+2|·=4,得(x-2)2+y2=,∴y2=-(x-2)2,当x=时,y2=>1,∴C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.对于D,=-(x0-2)2≤,即y0≤,故D正确.故选ABD. 变式题　②③④　[解析] 对于①,在方程(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=4中,令x=0,得cos2θ+(y-sin θ)2=4,即cos2θ+y2-2ysin θ+sin2θ=1+y2-2ysin θ=4,所以2sin θ=y-.因为0≤θ≤π,所以0≤sin θ≤1,所以0≤2sin θ≤2,所以0≤y-≤2,解得-≤y≤-1或≤y≤3,所以点A的坐标为(0,),故①错误;对于②,由题设 (α为参数),则M(2cos α+cos θ,2sin α+sin θ),所以|OM|= = ,当α=θ时,cos(α-θ)=1,即M到原点的距离的最大值为3,故②正确;对于③,由①可知,D(0,-),C(0,3),所以|CD|=3+,故③正确;对于④,“水滴”图形是由一个半径为1的半圆、一个边长为2的等边三角形和两个全等的弓形组成的,所以白色“水滴”图形的面积S=×π×12+×22+2=π-,故④正确.故填②③④.增分微课8　圆锥曲线中的轨迹问题　　　　　 　　　　　 　　　　　 类型一　求轨迹的常用方法 角度1　定义法求轨迹问题 　　定义法:分析题设中的几何条件,根据圆锥曲线的定义,判断轨迹是何种类型的曲线,直接求出该曲线的方程. 例1 已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹方程为 (　 ) A.-=1(x≥2) B.-=1(x≤-2) C.-=1(x≥4) D.-=1(x≤-4) 总结反思 利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,那么应对其中的变量x或y进行限制. 变式题 (多选题)已知圆O的半径为定长r,A是圆O ... ...