运用函数导函数求函数的极值（或最值） 学案

运用函数导函数求函数的极值（或最值） 【考纲解读】 理解函数极值（或最值）的定义，理解并掌握函数极值（或最值）存在定理； 掌握判断函数极值（或最值）存在和求函数极值（或最值）的基本方法，能够求出给定函数的极值（或最值）。 【知识精讲】。 一、函数极值的定义： 1、函数极大值定义：设函数f(x)在点附近有意义，如果对附近的点，都有f(x)f()，则称f()是函数的一个极小值，记作。 二、函数极值存在定理： 1、函数极大值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）<0，当x＜时，有（x）>0，则f()是函数f(x)的一个极大值； 2、函数极小值存在定理：设函数f(x)在点处连续，且（）=0，如果当x＞时，有（x）>0，当x＜时，有（x）<，则f()是函数f(x)的一个极小值。 三、运用函数导函数求函数极值的基本方法： 1、确定函数的定义域； 2、求函数的导数（x），令导函数（x）=0，求出函数可能的极值点（注意：导函数为0的点是函数极值点的必要条件，但不是充分条件）； 3、根据函数极值存在定理，判断函数在该点的极值是否存在（注意：当方程（x）=0的根有参数时，应注意对根是否在定义域内进行讨论），并确定出函数在该点是极大值还是极小值； 4、确定函数在该点存在极值的基础上，求出函数在该点的函数值就可求出函数在该点的极大值（或极小值）。 四、函数最值存在定理： 如果函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，则函数f(x)在闭区间〔a，b〕上一定存在最大值与最小值。 五、运用函数导函数求函数在闭区间上最值的基本方法： 1、根据运用函数导函数求函数极值的基本方法，求出函数在区间上的极值； 2、求出函数在闭区间上两个端点的函数值； 3、比较所求极值与端点函数值的大小，最大的一个函数值为函数在闭区间上的最大值，最小的一个函数值为函数在闭区间上的最小值。 【探导考点】 考点1运用函数导函数求函数的极值：热点①判断函数在某点的极值是否存在；热点②求函数的极值；热点③已知函数在某点的极值，求函数解析式中参数的值（或取值范围）； 考点2运用函数导函数求函数的最值：热点①判断函数在某区间上的最值是否存在；热点②求函数在某区间上的最大值；热点③求函数在某区间上的最小值； 考点3运用函数导函数求函数极值和最值的综合问题。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： y 设（x）是函数f(x)的导函数，函数y=（x） 的图像如图所示，则函数f(x) 的图像最有可能是（ ） 0 1 2 x y y y y 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x A B C D 2、设函数f(x)在R上可导，其导函数为（x）， y 且函数y=(1-x) （x）的图像如图所示，则下列 -2 0 1 2 x 结论中一定成立的是（ ） A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 3、求函数f(x)= 的极大值； 4、已知函数f(x)=x-1+ (a∈R,e为自然对数的底数)。 （1）若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线平行于X轴，求a的值； （2）求函数f(x)的极值。 5、已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)。 （1）当a=2时，求曲线y=f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程； （2）求函数f(x)的极值。 6、设函数f(x)=a+b+cx在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1。 （1）求a，b，c的值； （2）求函数f(x)的单调区间及极值。 7、已知函数f(x)=a +b -3x在x= 1处取得极值。 （1）求a、b的值； （2）求函数f(x)的极值； （3）过点A（0,16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。 8、若函数y= f(x)在x=处取得极大值或极小值，则称为函数y= f(x)的极值点。已知a、b是实数，-1和1是函 ... ...