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课件网) 第四章 指数函数与对数函数 4.1 指 数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 4.1.2 无理数指数幂 及其运算性质 学习目标 1.理解n次方根的概念和性质,理解分数指数幂、实数指数幂的意义,提升数学抽象素养. 2.掌握根式与分数指数幂的互化、简单根式的化简,会利用实数指数幂运算法则进行简单的指数幂的运算,提升数学运算素养. 1 知识梳理 自主探究 1.根式的相关概念和性质 (1)a的n次方根的定义. 一般地,如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. xn=a (2)a的n次方根的表示. a的n次方根 的表示符号 a的取值范围 n为奇数 . a∈R n为偶数 . . [0,+∞) 注意:①负数没有偶次方根. a a |a| 思考:64的平方根、立方根、六次方根分别是什么 提示:±8,4,±2. 2.分数指数幂 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式. (1)正数的正分数指数幂可定义为 (3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 . 0 没有意义 3.无理数指数幂 定义:无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数. 由此,我们得到实数指数幂:一般地,当a>0,α为任意实数值时,实数指数幂aα都是有意义的. 4.实数指数幂的运算法则 整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用.即对任意实数r,s,均有下面的运算性质. (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 2 师生互动 合作探究 角度1 根式的性质 [例1] 化简下列各式. 根式 解:(1)原式=(-2)+(-2)=-4. 解:(2)原式=|-2|+2=2+2=4. 针对训练1:化简下列各式. 解:(1)原式=-3+|-3|=0. 解:(3)原式=x-y+y-x=0. 角度2 条件根式的化简 在解决有关根式、绝对值、分式等问题时,一定要仔细观察、分析根号下式子的特征,为使开偶次方后不出现符号错误,一定要先用绝对值号表示,然后利用已知条件去绝对值号,对于题目没有明确给出条件的要进行分类讨论. 根式与分数指数幂 角度1 根式与指数幂的互化 (1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.①根指数 分数指数的分母.②被开方数(式)的指数 分数指数的分子. (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两 条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂. 提醒:偶次根式的被开方数中若含有负数,应该根据偶次根式的意义,把负数直接化为正数,然后转化为分数指数幂的运算. 针对训练3:将下列根式化为分数指数幂的形式. 角度2 指数幂的运算 [例4] 计算下列各式: 一般地,根式要先化为分数指数幂,进行指数幂运算时,可将系数、同类字母归在一起,分别计算;化负指数为正指数,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的. 针对训练4:化简下列各式.(式中字母都是正数) (3)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c); 角度3 条件求值问题 解决条件求值问题的一般方法———整体代入法 对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下: 1.下列各式正确的是( ) 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 3.下列说法: A.4 B.3 C.2 D.1 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 [例1] 若102x=25,则10-x等于( ) √ √ 1 ... ...
