福建省永安市第三中学高中校2023-2024学年高一下学期4月第一次月考数学试题（含解析）

永安市第三中学高中校2023-2024学年高一下学期4月第一次月考 数学试卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 学校_____ 班级_____ 姓名_____ 座号_____ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A． B．2 C． D． 2．在中，，则角的大小为（ ） A． B．或 C． D．或 3．已知，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为： ．若，，则利用“三斜求积术”求的面积为（ ） A． B． C． D． 5．桂林日月塔又称金塔银塔、情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称．如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度（ ） 图1 图2 A．米 B．米 C．50米 D．米 6．已知复数满足：，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D．3 7．已知的三个内角所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 8．已知六边形为正六边形，且，以下不正确的是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的是（ ） A．若复数为纯虚数，则 B．若复数，则 C．复数的共轭复数为 D．若复数满足，则的实部与虚部至少有一个为0 10．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ） A．若，则点是边的中点 B．若，则点是的重心 C．若，则点在边的延长线上 D．若，且，则是面积的一半 11．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为1，P是正八边形边上任意一点，则（ ） 图1 图2 A．与能构成一组基底 B． C．在向量上的投影向量为 D．若在线段（包括端点）上，且，则取值范围 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．若为虚数单位，则_____． 13．已知，若与的夹角为针角，则实数的取值范围是_____． 14．十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，若点为的费马点，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）已知向量，且与共线． （1）求的值； （2）若与垂直，求实数的值． 16．（本小题15分）（1）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，，且，求； （2）已知复数为纯虚数，求实数的值． 17．（本小题15分）已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为的中点，的面积为，求的长． 18．（本小题17分）如图，在中，分别为的中点，． （1）试用表示； （2）若，求． 19．（本小题17分）已知分别是三个内角的对边，且 （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 参考答案： 1．A 2．D 【详解】由题意知中，， 故， ... ...