天等县高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足，则复数( ) A. B. C. D. 2.已知向量与的夹角为，，，则( ) A. B. C. D. 3.已知复数满足为虚数单位，则为的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.已知向量，，若，则实数( ) A. B. C. D. 5.如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则( ) A. B. C. D. 6.已知向量，，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.在中，内角，，的对边分别是，，若，，则等于( ) A. B. C. D. 8.已知平面向量，，则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共21分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，则下列结论正确的是． ( ) A. B. 与可以作为一组基底 C. D. 与方向相同 10.在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( ) A. 北偏西 B. 北偏西 C. D. 11.已知复数，则以下说法正确的是 ( ) A. 复数的虚部为 B. C. 的共轭复数 D. 在复平面内与对应的点在第二象限 12.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知向量与向量夹角为，且，，要使与垂直，则 ． 14.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则_____． 15.已知中，内角的对边分别为，且，则 ． 16.是虚数单位，复数 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知，，均为复数，在复平面内，对应的点的坐标为，对应的向量坐标为，且其中为虚数单位． 求； 求 18.本小题分 已知向量，． 若向量，且，求的坐标； 若向量与互相垂直，求实数的值． 19.本小题分 如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，． 用，表示和； 求向量与夹角的余弦值． 20.本小题分 已知的内角，，的对边分别为，，，且． 求； 若，，求． 21.本小题分 在中，内角，，的对边分别是，，，且满足B. 求角的值 若，，求的面积． 22.本小题分 某海轮以海里分钟的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东，向北航行分钟后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶分钟到达点，求、间的距离． 1.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可． 【解答】 解：， ， ， 故选：． 2.【答案】 【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题． 直接利用向量的数量积的求法，化简求解即可． 【解答】 解：向量与的夹角为，，， 则． 故选B． 3.【答案】 【解析】解：， ， ， 在平面内对应的点位于第四象限． 故选：． 根据已知条件，结合复数代数形式的乘除法运算可得，，再结合共轭复数的概念和复数的几何意义，即可求解． 本题考查了共轭复数的概念和复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 4.【答案】 【解析】【分析】 本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题． 根据题意，求出的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，向量，，则， 若，则， 则， 故选：． 5.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题． 建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的与的值． 【 ... ...
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