2024年中考数学三轮冲刺解题策略：专题06 圆中与切线有关的判定方法（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题06 圆中与切线有关的判定方法 题型01 利用等角转换证垂直【连半径，证垂直】 【解题策略】 方法技巧 1.切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！ 无切点，作垂直，证半径！ 特别地： 题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥” 2.切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！ 因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题 3.常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； 4.若：已知，又可证明，则可以推出 【典例分析】 【例1】（2023·云南模拟）如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，且，． 求证：是的切线； 若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】证明：连接． ，， ． ， ． 即， 是的切线． 解：， ． ， 在中，， ， ， 图中阴影部分的面积为． 【解析】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法． 连接只需证明根据等腰三角形的性质即可证明； 阴影部分的面积即为直角三角形的面积减去扇形的面积． 【变式演练】 1.（2023·湖北）如图，点、、在圆上，，直线，，点在上． 判断直线与圆的位置关系，并说明理由；若圆的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】解：直线与圆相切， 理由如下：连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是圆的半径， 直线与圆相切； 连接，作于， ， ， ， ，， ， 扇形的面积为：， ， 阴影部分的面积为：． 【解析】本题考查圆的切线的判定定理，弓形面积的求法，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表示方法． 连接，根据平行线的性质和等腰三角形的性质推出，，进而推出，从而可证明结论； 连接，作于，分别求出扇形的面积和，进而可求出阴影部分的面积． 题型02 利用平行证垂直【连半径，证垂直】 【解题策略】 方法技巧 1.切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！ 无切点，作垂直，证半径！ 特别地： 题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥” 2.切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！ 因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题 3.垂直于同一直线的两直线互相平行。 【典例分析】 【例1】（2023·江苏）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． 求证：是的切线． 若，，求，的长． 【答案】(1)解：证明：如图，连结OC， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA． ∵点C是的中点， ∴∠OAC＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠OCA，∴OC // AE． ∵AE⊥CE，∴OC⊥CE． ∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线． (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ∵BC＝6，AC＝8，∴． 又∵∠BAC＝∠CAE，∠AEC＝∠ACB＝90°， ∴△AEC∽△ACB，∴，即，∴． ∵点C是的中点，即，∴ CD＝BC＝6， ∴． 【解析】 略 略 【变式演练】 1.（2023·广西）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作点，交延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求的长． 【答案】证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 解：连， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及相似三角形的判定与性质注意准 确作出辅助线是解此题的关键． 首先连接，由在中，，易证得 ，又由过点作于点，即可得，证得是的切线； 根据圆周角定理得到，求出，再证明∽，得出 ，求出，，进而得出的长． 题型03 利用三角形全等证垂直【连半径，证垂直】 【解题策略】 方法技巧 切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！ 无切点，作垂直，证半径！ 特别地： 题目中所需 ... ...