中小学教育资源及组卷应用平台 专题08 二次函数的图像与性质（一） 题型01 待定系数法求二次函数解析式 【解题策略】 一、求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 二、二次函数的常见表达式： 名称解析式前提条件一般式y=ax +bx+c (a≠0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.顶点式y＝a(x–h) ＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式.交点式y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0)其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式.相互联系1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 【典例分析】 例1．（2024·河南模拟）抛物线经过，，交轴于点求抛物线的解析式． 【变式演练】 1.（2024·广东模拟）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的表达式． 2.（2024·福建模拟）已知是的二次函数，与的对应值如下表： 则其表达式为 A. B. C. D. 3.（2023·广东模拟）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是，当时，随的增大而增大，则抛物线解析式可以是( ) A. B. C. D. 题型02 二次函数的图象与性质 【解题策略】 1．二次函数的图象与性质 解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时， y最小值=当x=–时， y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 【典例分析】 例1．（2024·广东模拟）对于二次函数，下列说法不正确的是( ) A. 图象开口向上 B. 函数的最小值是 C. 当时，随的增大而减小 D. 图象与轴的交点为 【变式演练】 1.（2024·云南模拟）如图是二次函数的图象，对于下列说法：，，，，当时，随的增大而减小，其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 2.（2024·安徽模拟）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是( ) A. B. C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小 3.（2024·河南模拟）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论： ；；；； ， 其中正确的结论有填序号_____ 题型03 二次函数图象与各项系数的关系 【解题策略】 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号图象特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．a<0开口向下 bb=0坐标轴是y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧左同右异ab<0((a，b异号))对称轴在y轴右侧 cc=0图象过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值函数值图象上对应点的位置结论-24a-2b+cx轴的上方4a-2b+c >0x轴上4a-2b+c =0x轴的下方4a-2b+c <0-1a-b+cx轴的上方a-b+c >0x轴上a-b+c =0x轴的下方a-b+c <01a+b+cx轴的上方a+b+c >0x轴上a+b+c =0x轴的下方a+b+c <024a+2b+cx轴的上方4a+2b+c >0x轴上4a+2b+c =0x轴的下方4a+2b+c <0 【典例分析】 例1．（2024·江西模拟）如图是 ... ...
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