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课件网) 第2课时 直线与平面垂直的性质 [目标导航] 课标要求 1.理解并掌握直线与平面垂直的性质定理. 2.理解点与平面的距离,平行的直线到平面的距离,两平行平面间的距离的概念,并能求相应的距离. 素养达成 通过直线与平面垂直性质定理和有关距离的学习,强化转化和化归思想,提升逻辑推理和空间想象的核心素养. 1 新知导学 素养启迪 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 . 符号语言 图形语言 作用 ①线面垂直 线线平行 ②作平行线 1.直线与平面垂直的性质定理 平行 a∥b 思考1:已知直线a,b和平面α,若a∥α,b∥α,则a,b的位置关系是 ; 若a∥α,b⊥α,则a,b的位置关系是 ; 若a⊥α,b⊥α,则a,b的位置关系是 . 平行、相交或异面 垂直 平行 2.线面距、面面距 (1)直线到平面的距离. 一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离. 图形语言: 如图,A∈l,O∈α,AO⊥α,线段AO的长度就是直线l到平面α的距离. (2)平面到平面的距离. 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 图形语言: A∈β,O∈α,AO⊥α,如图,线段AO的长度就是平面β到平面α的距离. 思考2:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,a是上底面A1B1C1D1中的任一条直线,P是上底面A1B1C1D1中任一点,则点P到平面ABCD的距离,直线a到平面ABCD的距离,底面A1B1C1D1到平面ABCD的距离是否相等 答案:相等.由此可知,当求点(或直线)到平面的距离,不易直接得到垂线段时,可以先作出过点(或直线)与平面平行的平面,然后所求距离转化为另一个更合适的点到平面的距离. 2 课堂探究 素养培育 题型一 直线与平面垂直的性质定理 [例1] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 证明:(1)如图,连接A1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1, 所以CC1⊥B1D1. 因为四边形A1B1C1D1是正方形,所以A1C1⊥B1D1. 又因为CC1∩A1C1=C1,CC1,A1C1 平面A1C1C, 所以B1D1⊥平面A1C1C. 而A1C 平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1. (1)求证:A1C⊥B1D1; (2)点M,N分别在B1D1与C1D上,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN∥A1C. (1)当题中垂直条件很多,但又要证两直线平行关系时,就要考虑直线与平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化. (2)要证线线垂直,只需证线面垂直,可利用线面垂直的定义或判定定理证明,从而得出所需结论.因此,在解题时,要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用. [变式与拓展1-1] 如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB.求证:a∥l. 证明:因为EB⊥β,a β,所以EB⊥a. 又因为a⊥AB,AB∩EB=B,AB,EB 平面ABE,所以a⊥平面ABE. 因为α∩β=l,所以l α,l β. 因为EA⊥α,EB⊥β, 所以EA⊥l,EB⊥l. 又因为EA∩EB=E,EA,EB 平面ABE, 所以l⊥平面ABE. 所以a∥l. 题型二 空间中的距离问题 [例2] 如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,点O是四边形A′B′C′D′的中心,则O到平面ABC′D′的距离是( ) √ (1)求点到平面的距离时,一般作出距离,然后在三角形中计算距离.作距离的常见方法有:一直接作垂线段,二连接相关两点得线段,证明该线段是平面的垂线段. (2)当直接作点到平面的距离有困难时,可以利用平行直线上任一点到平面的距离相等,转化为另一点到平面的距离,也可以转化为两个平行平面间的距离. [变式与拓展2-1] 已知平面α∥β,点A,C∈α,点B,D∈β,如果AB+CD=28,且AB,CD在β内的射影长分别为5和9,则平面α与β间的距离为 . 12 [例3] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AA1的中点, AC⊥BC,AC=BC,AB=AA1=4. (1)证明:AC1⊥平面BCD; (2)求点D到平面ABC1的距离. 如果三棱锥中 ... ...