8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时） 导学案（含解析） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 导学案 学习目标 1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件. 2.了解非线性回归模型. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 重点难点 1.重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法. 2.难点：求最小二乘估计，残差分析. 课前预习 自主梳理 1．残差的概念 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 2．刻画回归效果的方式 （1）残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好． （2）残差平方和法 残差平方和(yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． （3）利用R2刻画回归效果 决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力． R2＝1－，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． 自主检测 1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． （1）两个变量之间产生随机误差的原因仅仅是因为测量工具产生的误差．( ) （2）线性回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且回归直线过样本点的中心．( ) 2．某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅．现收集了该图书馆五年的借阅数据如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得y关于x的线性回归方程为，则下列说法中错误的是（ ）． A． B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的第75百分位数为5.7 C．y与x的线性相关系数 D．2021年的借阅量一定少于6.12万册 3．某单位为了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，如下表，由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量的度数是（ ） 气温（） 20 16 12 4 用电量（度） 14 28 44 62 A．70 B．6.8 C．64 D．62 4．具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其回归直线方程是，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知与之间的一组数据： 1 2 3 4 0.5 3.2 4.8 7.5 若关于的线性回归方程为，则的值为（ ） A．1.25 B．-1.25 C．1.65 D．-1.65 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 在一元线性回归模型中，表达式刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计．由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近． 问题1：从成对样本数据出发，如何用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”？ 思路1：先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线． 问题2.我们怎样寻找一条“最好”的直线，使得表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最“接近”？ 探究：利用散点图8.2-1找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近． 有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测量出此时的斜率和截距，就可得到一 ... ...