合肥市2024届高三下学期第二次教学质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C．1 D．2 3．设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C． D．与相交 4．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A． B． C． D． 5．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆，圆，则（ ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 10．已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ） A． B．对任意成等比数列 C．对任意，都存在，使得成等差数列 D．若，则数列递增的充要条件是 11．已知函数，则（ ） A．函数在上单调递减 B．函数为奇函数 C．当时，函数恰有两个零点 D．设数列是首项为，公差为的等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为_____． 13．抛物线的焦点为，准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，与轴交于点，若，则_____． 14．已知实数，满足，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面． （1）求三棱锥的体积； （2）求与平面所成角的正弦值． 16．（15分） 已知椭圆的右焦点为，左顶点为，短轴长为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线的交点分别为，记直线的斜率分别为，证明：为定值． 17．（15分） 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为． （1）证明：； （2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）； （3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为和的估计值．如果按照的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为四个等级，试确定各 ... ...
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