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课件网) 8.3.2 独立性检验 学习目标 基于2×2列联表，通过实例了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的基本步骤，会用独立性检验解决简单的实际问题，提升数据分析能力。 学习重点：独立性检验的思想和方法。学习难点：χ2统计量的导出和意义，独立性检验的思想和方法。 在现实问题中，我们常常需要推断两个分类变量之间是否存在关联，通过分类变量的样本观测数据（2×2列联表），依据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联． 通过上节课的学习我们已经知道，对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大．因此需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算．这是本节课的主要任务。 环节一：创设情境，引入课题 问题1：在上节例1中，我们通过频率比较得到“两所学校学生的数学成绩优秀率存在差异”的结论，但由于数据的随机性，这一推断有可能是错误的.那么犯错误的概率有多大呢、如何从概率的角度去研究两个分类变量X和Y是否有关联？ 设X和Y为定义在样本空间Ω上的两个分类变量，可设X，Y∈{0，1}. 例： 我们希望判别的是学校因素是否影响学生的数学成绩，即事件{Y=1}和{X=1}或 {X=0}之间是否有关联. 用概率语言表示，就是判断下面的关系是否成立： H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联. 即判断下面的假定关系 H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 是否成立,通常称H0为零假设或原假设. 注意：{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互对立事件. P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点，该样本点属于{X=0，Y=1}的概率；P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1，Y=1}的概率. 思考：请用条件概率的知识，分析零假设，给出分类变量X和Y独立的定义. 由条件概率的定义可知，零假设H0等价于 或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0) ① 因为{X=0}和{X=1}为对立事件，P(X=0)=1-P(X=1) 所以 P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1). ①式等价于 P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1). 因此，零假设H0等价于{X=1}和{Y=1}独立. {X=0}与{Y=0}独立;{X=0}与{Y=1}独立; {X=1}与{Y=0}独立;{X=1}与{Y=1}独立. 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价: 以上性质成立，分类变量X和Y独立，即下面四个等式成立： H0：分类变量X和Y独立. 用概率语言,将零假设改述为 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1); P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1). ② 根据我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表8.3-3所示． X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 对于随机样本，表8.3-3中的频数a，b，c，d都是随机变量，而表8.3-2中的响应数据是这些随机变量的一次观测结果． 思考：如何基于②中的四个等式及列联表8.3-3中的数据，构造适当的统计量，对成对的分类变量X和Y是否相互独立作出推断？ 环节二：观察分析，感知概念 综合②中的四个式子,如果零假设H0成立,下面四个量的取值都不应该太大: , ,, ③ 反之,当这些量的取值较大时,就可以推断H0不成立. 一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小.为了合理地平衡这种影响，作如下处理： 化简得 环节三：抽象概括，形成概念 由④式可知，只要把概率值α取得充分小，在假设H0成立的情况下，事件不大可能发生的.根据这个规律，如果该事件发生 ... ...
