模块二专题5 导数与构造函数问题 学案（含解析） 高二第二学期数学期中备考人教B版（2019）

专题5 导数与构造函数问题 【典例1-1】（22-23高二下·福建龙岩·期中） 1．是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【典例1-2】（2023·广东佛山·一模） 2．若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【题后反思】常见的同构变形： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 【举一反三】 3．若，则（ ） A． B． C． D． （2023·江苏南通·二模） 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【典例2-1】 5．下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（23-24高二上·湖南长沙·期末） 6．若，则（ ） A． B． C． D． 【题后反思】（1）最常见的构造比大小函数：型函数 函数极值点： 此函数定义域为，求导， 当时，，故为增函数， 当时，，故为减函数， 当时，取得极大值为， 且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较； （2）其他形式比大小：根据各个数字的特征，利用共同特征构造函数求解单调性进行判断. 【举一反三】 （22-23高二下·河南周口·期中） 7．若，，，则（ ） A． B． C． D． （22-23高二下·辽宁·期中） 8．设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【典例3-1】 9．已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】（22-23高三上·广东潮州·期末） 10．已知函数的定义域为，导函数为，满足，（为自然对数的底数），且，则（ ） A． B． C．在处取得极小值 D．无极大值 【题后反思】1、两个基本还原 ① ② 2、类型一：构造可导积函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2 ③ 高频考点1： ④ 高频考点1： 高频考点2 ⑤ ⑥ 序号 条件 构造函数 1 2 3 4 5 6 7 8 3、类型二：构造可商函数 ① 高频考点1： ② 高频考点1： 高频考点2： ③ ⑥ 【举一反三】 （22-23高二下·四川成都·期末） 11．记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ） A． B． C． D． （23-24高二下·上海·阶段练习） 12．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．BC 【分析】由题可得单调性，.A选项，通过取可构造反例；B选项，由题可得，结合单调性可判断选项；C选项，当时，显然正确；当时，在时，，则此时，后结合单调性可判断选项；D选项，通过取可构造反例. 【详解】构造函数.则， 当时，； 时， . 即在上单调递减，在上单调递增. 又由题. A选项，取，则，因在上单调递增， 则满足题意，但此时，故A错误； B选项，若，，则，又由题可知， 且在上单调递增，则，故B正确； C选项，若，当时，，满足题意； 当时，构造函数，注意到当时， ，又，则. 又因，则.因，在上单调递增， 则.综上，若，则，故C正确； D选项，取，则，又在上单调递减， 则满足题意，但此时，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点精：本题涉及证明不等式，常需通过观察找到题目中的相同结构，进而构造出需要的函数，此外此题作为选择题，找到合适的反例可帮助我们快速解决问题. 2．AC 【分析】依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再令，利用导数说明，即，从而得到，当且仅当时取等号，即可判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以，则， 令，，则， 所以在上单调递增， 由，可得， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 又，所以，当且仅当时取等号， 当时或， 结合与的图象也可得到 所以或. 故选：AC 3．C 【分析】AB选项一组，CD选项一组，分别构造函数，利用函数的单调性 ... ...