第二节 勾股定理的逆定理 一、课标导航 课标内容 课标要求 目标层次 勾股定理的逆定理 理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系 ★ 掌握勾股定理的逆定理 ★ 会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 二、核心纲要 1.互逆命题和互逆定理 (1)互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，则这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. (2)互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称做原定理的逆定理，称这两个定理互为逆定理. 注：每个命题都有逆命题，但每个定理不一定有逆定理. 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足. 那么这个三角形是直角三角形. 注：(1)勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： ①确定最大边(不妨设为c)； ②若 ，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形； 若 则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边)； 若 则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边). (2)定理中的a、b、c及( 只是一种表现形式，不能认为是唯一的.若三角形三边长a，b，c满足 那么以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. 3.勾股数 满足 的三个正整数a、b、c称为勾股数. 注:①常见的勾股数有:(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17);(7,24,25);(9,40,41);(9,12,15);(12,16,20)等; ②如果(a,b,c)是一组勾股数,那么(ak, bk, ck)也是一组勾股数(k为正整数). 4.证明垂直的方法 (1)根据垂直的定义，只需证明一个角是直角. (2)根据勾股定理的逆定理证明. 本节重点讲解：一个定理，一个方法. 三、全能突破 基础演练 1.下列命题中，没有逆定理的是( ). A.内错角相等，两直线平行 B.相反数的绝对值相等 C.直角三角形中两锐角互余 D.同位角相等，两直线平行 2.下列线段不能组成直角三角形的是( ). A. a=6,b=8,c=10 3.五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现将他们摆成两个直角三角形如图 17-2-1 所示，其中正确的是( ). 4.三角形的三边长为a、b、c，且满足等式( ，则此三角形是( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5.判断以下命题： (1)在△ABC中,∠A=∠C--∠B,则△ABC为直角三角形. ( ) (2)在△ABC中, ，则△ABC是以∠A为直角的直角三角形. ( ) (3)在△ABC中,a:b:c=1:3: ，则△ABC为直角三角形. ( ) (4)在△ABC中,∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC为直角三角形. ( ) (5)在△ABC 中,. ，则△ABC为直角三角形. ( ) 6.若△ABC中,(b-a)(b+a)=c ,则∠B= . 7.在△ABC中,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm,则 S△ABC为 . 8.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若 已知c=5，则最大边上的高为 . 9.如图17-2-2 所示,在四边形 ABCD中,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形 ABCD 的面积. 。 10.如图 17-2-3所示,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AB=BC=4,CD=6,DA=2,求∠DAB的度数. 能力提升 11.如图17-2-4 所示,在△ABC中,D 是 BC 的中点,若AB=5,AC=13,AD=6,则 BC的长为( ). C.13 D.12 12.若△ABC的三边长a、b、c满足条件( ,则△ABC 的面积为( ). A. B.30 C.32.5 D.78 13.如图17-2-5 所示,在△ABC中,CD⊥AB于点D,且满足( ,则∠ACB=( ). A.30° B.45° C.60° D.90° 14.已知 与z -10z+25互为相反数，则以x、y、z为三边的三角形是 三角形. 15.如图 17-2-6 所示,P是正三角形ABC 内的一点,且 PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A 逆时针旋转后,得到△PAB,则点 P 与点P'之间的距离为 ,∠APB= °. 16.(1)若△ABC 的三边长为a、b、c,且满足 则△ABC的形状是 . (2)阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足 试判断△ABC 的形状. 解: a b c ∴△ABC ... ...
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