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课件网) 第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率 1 课前预习 素养启迪 1.直线的倾斜角 (1)直线的方向 在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向 ,其他直线 的方向为这条直线的方向. (2)直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 向右 向上 正向 向上 0° [问题1] 直线的倾斜角与直线的方向有什么关系 答案:在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等. 2.直线的斜率 (1)直线的斜率 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的坐标有如下关系: tan α= . ① 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k= . ② 倾斜角是90°的直线 斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率. tan α 没有 (2)直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),那么由①②可得 如下的斜率公式:k= . [问题2] 直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系是什么 答案:①直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ 0° 0°<θ<90° 90° 90°<θ<180° k 0 k>0 不存在 k<0 ②当倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率k≥0,倾斜角越大,斜率越大;当90°<α<180°时,斜率k<0,倾斜角越大,斜率也越大;当α=90°时,直线的斜率不存在,直线垂直于x轴.倾斜角不同的直线,斜率k也不同. ③在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度. 1.(多选题)下列命题正确的是( ) A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率,则k∈R C.任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 D.任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 ABC 解析:根据直线的倾斜角、斜率的定义判断,A,B,C正确,D不正确. C D 3.经过A(0,2),B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),则k的值是( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2 课堂探究 素养培育 求直线的倾斜角或其取值范围 [例1] (1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 解析:(1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.故选D. (2)设直线l过坐标原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( ) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时,为α+45°,当135°≤α<180°时,为α-135° 解析:(2)如图①所示,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角是α+45°;如图②所示,当135°≤α<180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°.故选D. 求直线的倾斜角的关键及两点注意 (1)关键:依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向所成的角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. (2)求图中各直线的倾斜角. (2)解:①如图a,可知∠OAB为直线l1的倾斜角,易知∠ABO=30°,所以∠OAB=60°,即直线l1的倾斜角为60°. ②如图b ,可知∠xAB为直线l2的倾斜角, 易知∠OBA=45°,所以∠OAB=45°,所以∠xAB=135°, 即直线l2的倾斜角为135°. ③如图c,可知∠OAC为直线l3的倾斜角, 易知∠ABO=60°, 所以∠BAO=30°,所以∠OAC=150°, 即直线l3的倾斜角为150°. 求直线的斜率或其取值范围 角度1 根据倾斜角求斜率 [例2] 在平面直角坐标系内,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的 ... ...
